賈憲三角

　　開方作法本源圖的今稱。中國北宋數學傢賈憲所首創。西方稱之為帕斯卡三角，晚於賈憲六百多年。

　　賈憲是北宋著名數學天文學傢楚衍的弟子，作過左班殿直，活動在11世紀上半葉，他以劉徽、李淳風作註的《九章算術》為底本，撰《黃帝九章演算法細草》九卷（《宋史·藝文志》），又撰《演算法斅古集》二卷，均已失傳。所幸楊輝的著作中保存瞭他的兩項重要成就：賈憲三角和增乘開方法。

　　賈憲三角是一個指數為正整數的二項式定定理系數表。楊輝在《詳解九章算法》中曾記載“釋鎖算書，賈憲用此術”。

　　原圖下面有五句話：“左衺乃積數，右衺乃隅算，中藏者皆廉，以廉乘商方，命實而除之。”前三句說明瞭賈憲三角的結構和它們在開方術中的作用。它的每一行中的數字依次表示二項式(α+b)ⁿ(n=0，1，2，…)展開式的各行系數。最外左、右斜線上的數字，分別是各次開方中積(αⁿ)和隅算（bⁿ）的系數，中間的數字“二”、“三、三”、“四、六、四”等等，分別是各次開方中的廉(積、隅、廉皆來自於古代開方術的幾何解釋。以開平方為例，初商α的平方，在圖形中是一個大正方形，稱為“積”，次商b的平方在圖形中是占據一角的小正方形，稱為“隅”，而2αb位於圖形的兩側邊，故稱為“廉”）。在賈憲三角後，附有“增乘方求廉法”：“列所開方數，以隅算一，自下增入前位至首位而止。復以隅算如前陞增，遞低一位求之。”根據“法”後註明的“草”，求開六次方的廉的程序如下：第一位1　1+5=6，第二位1　1+4=5　5+10=15，第三位1　1+3=4　4+6=10　10+10=20，第四位1　1+2=3　3+3=6　6+4=10　10+5=15，第五位1　1+1=2　2+1=3　3+1=4　4+1=5　5+1=6，最後得到的6、15、20、15、6就是六次方的各廉。用這種隨乘隨加的增乘過程，可以求任意次方的廉。

　　圖下面的後兩句話簡要說明瞭用各行系數進行開方的方法：以商的相應次方乘廉，去減實。如對數N開平方，用賈憲三角的第三層，確定初商α，得餘實N-α²後，以初商乘廉，得2α；再定次商b，加次商於2α，乘以b，從餘實N-α²中減去，它的算式就是

N-α²=(2α+b)b。

同樣，開其他次方，亦可如法處理。說明當時中國數學傢已把傳統的開方術推廣到開高次方。

　　同時，求賈憲三角各廉的增乘步驟，可以直接用來開方，從而創造瞭高次方程數值解法的新途徑，這就是賈憲的另一成就增乘開方法。

　　元初朱世傑把賈憲三角由七層推廣到九層(八次冪)，為高階等差級數求和問題和高次招差法的發展，提供瞭有力的數學工具，賈憲三角對宋元數學的發展實有肇始之功。