函數

　　數學的基礎概念之一。在物質世界裏常常是一些量依賴於另一些量，即一些量的值隨另一些量的值確定而確定。函數就是這類依賴關係的一種數學概括。

　　設D是一非空的實數集，f是某一規則。如果對每一個數x∈D，f惟一地確定出一個相對應的實數數f(x)，則稱f為定義於D上的一個函數，集D稱為函數的定義域。數f(x)稱為函數在x的函數值，全體函數值的集M={f(x)|x∈D}=f(D)稱為函數的值域。一般，由規則f在D上定義的函數用記號

f：D→M

表示，也常常簡單地記作 f。函數 f： D→ M是從集 D到集 M上的 映射。

　　函數定義域D的一些最簡單情形可以是整個數軸，即全體實數的集R；也可以是數軸上的某個閉區間[α，b]={x|α≤x≤b}或開區間(α，b)={x|α＜x＜b}。規則f通常用某種計算公式表示，或用圖表文字加以說明。所謂一個函數已知，就是說確定這函數的要素（定義域和對應規則）是給定的，從而值域也是給定的。

　　函數記號f：D→M準確地表現瞭函數概念的內涵。但是人們需要能簡便表示函數的其他方法。目前科學著作中比較流行的做法是允許把函數f：D→M記作f(x)(x∈D)或者更簡單地記作f(x)（如果定義域D是不寫自明的）。例如：對一切實數x，規則f(x)=2x³-1將定義出一個函數f：R→R，通常人們就把它記作2x³-1(x∈R)或者2x³-1。嚴格說來，這樣做是有缺陷的，因為它多少混淆瞭函數f與數（函數值）f(x)。不過它仍然被廣泛采用。

　　設給定任一函數f：D→M。如果令x是一個以D為變域的變量（不再像前面那樣表示D中的某一個數），令y是一個以M為變域的變量，那麼，函數f顯示的是：對於變量x在D內所取的每一個值，通過f能給變量y在M內惟一地確定出一個對應值。由此可見，變量y通過f表現出對變量x的一種依賴關系，而函數f則是這種依賴關系的數學表達。

　　在給函數概念添加上變量這一層含義的時候，總把以函數定義域D為變域的變量叫做函數的自變量，把以函數值域M為變域的變量叫做函數的因變量。於是在上面的作法中，x是自變量，y是因變量。“變量y通過函數f依賴於x”這個事實也常常被簡單地說成“變量y是變量x的f函數”，並且用y=f(x)這種等式形式的記號來加以表示。

　　把函數理解成變量間的依賴關系，豐富瞭人們對這個抽象數學概念的直覺聯想。但這並不絲毫改變函數的本質內容。特別說來，用什麼名稱來稱呼一個函數的變量是無關緊要的。記號y=f(x)(x∈D)和s=f(t)(t∈D)在數學上表示的是同一個函數f：D→M。

　　函數的圖像　對任意一個函數y=f(x)(x∈D)，如果把D中的任意一個數x與它的對應數y(=f(x))組成一個有序數對(x，y)，相應地便在坐標平面xOy上得到一點P(x，y)。平面上所有這種點（數對）的集

G={(x，y)|x∈D，y=f(x)}

稱為函數 f的圖像（圖 1 ）。由函數定義，集 G具有下述性質：若( α， b)，( α，с)都屬於 G，則 b=с，就是說， G不含有第一個坐標（第一個數）相同但相異的點（數對）。從這一性質出發，如果給定瞭集 G，那麼函數本身（定義域和對應規則）也就隨之完全確定。所以，每一個函數都可以定義為某一個具有上述性質的點（有序數對）之集。

　　一切所謂的基本初等函數，包括常值函數y=с(常數)，冪函數y=x^α，指數函數y=α^x，對數函數y=log_αx，三角函數y=sinx，…，反三角函數y=arc sinx，…等等的圖像，都可以用通常的繪圖工具比較滿意地畫出，它們各形成平面上的一條或者多條曲線（圖2、圖3、圖4、圖5）。

不過不是對所有的函數都能做到這一點，定義於[0，1]上的狄利克雷函數“ D( x)=1，當 x為有理數時； D( x)=0，當 x為無理數時”就是一例。

　　常見的函數　常值函數是一種很特殊的函數。除瞭它以外，下列幾種函數f：D→M也各具特點，而且常常被用到。

　　① 恒等函數　如果對D中一切x有f(x)=x，則稱f為D上的恒等函數，有時使用專門的記號I表示。

　　② 有界函數　如果存在常數A（常數B），使得對D中一切x有A≤f(x)(f(x)≤B)，則稱f在D上有下界（有上界），數A（數B）為f的一個下界（上界）。如果f在D上既有下界又有上界，則稱f為D上的有界函數。

　　③ 單調函數　如果對D中任意兩數x₁，x₂，當x₁＜x₂時，都有

，則稱 f為 D上的增函數（減函數）。如果對上面所說的 x ₁， x ₂，嚴格不等式 總成立，則稱 f為 D上的嚴格增函數（嚴格減函數），增函數與減函數統稱為單調函數；嚴格增函數與嚴格減函數統稱為嚴格單調函數。

　　④ 奇函數和偶函數　如果D是關於原點對稱的數集，即當x∈D時必有-x∈D，且對D中一切x等式f(-x)=-f(x)(f(-x)=f(x))總成立，則稱f為D上的奇函數（偶函數）。

　　⑤ 周期函數　如果存在常數T≠0，使得對D中一切x，等式f(x+T)=f(x)總成立，則稱f為D上的周期函數，T為f的一個周期。每一周期函數實際上都有無窮多個不同的周期。如果在它們之中存在一個最小的正周期T_D，則稱T_D為函數的基本周期。

　　⑥ 數列　如果D為全體自然數的集，則稱f為一個數列。通常把這種函數的函數值用同一字母(例如α)附加體現自變量的值的下標的辦法加以表示：

f(1)=α₁，f(2)=α₂，…，f(n)=α_n，…。

稱 α ₁為數列的第一項， α ₂為第二項等等， α _n為通項。數列本身則通常寫作

α₁，α₂，…，α_n，…，或簡記作{α_n}。

　　函數的運算　在函數與函數之間還常常進行一些運算。設有函數f(x)(x∈A)及g(x)(x∈B)，倘若集D=A∩B不是空集，那麼通過等式

(f+g)(x)=f(x)+g(x) (x∈D)，

(f-g)(x)=f(x)-g(x) (x∈D)，

(f·g)(x)=f(x)·g(x) (x∈D)，

在集 D上定義出新的函數 f+ g， f- g， f· g，分別叫做函數 f與 g的和（函數）、差、積。如果集 E＝ A∩{ x| x∈ B， g( x)≠0}不是空集，則由等式

在集 E上定義出一個新的函數 ，稱為函數 f除以函數 g的商。

　　除四則運算外，函數間的下一個運算也是十分重要的。設集F={x|x∈B，g(x∈A}不是空集，那麼通過等式

在集 F上所定義出的新的函數 f。 g，稱為函數 f與函數 g的復合函數。一般說來，復合函數 f。 g和 g。 f是不同的函數。

　　類似地可以考慮多個（兩個以上）函數的四則運算和相繼復合的運算。基本初等函數經有限次四則運算和復合運算所得到的一切函數統稱為初等函數。

　　對於函數f：D→M或者y=f(x)(x∈D，f(D)=M)，如果當x₁，x₂為D內兩個不同數時必有f(x₁)≠f(x₂)，那就出現下述的情況：對於集M中的每一個數y，集D中有且僅有一個數x使得f(x)=y。如果就讓這個數x與y相對應，便立刻得到一個定義於集M上的新函數，稱為f的反函數，記作

f^_1：M→D或x=f^_1(y)(y∈M)。

如果函數 f有反函數，那麼 f在集 D和 M的元素之間就建立起一一對應關系，所以 f也是 f ^{_ 1}的反函數。習慣上常常把函數 y= f( x)的反函數 x= f ^-1( y)改寫為 y= f ^-1( x)( x∈ M)。後者的圖像如果同函數 y= f( x)的圖像畫在同一坐標平面上，它們關於直線 y= x是對稱的（圖3）。

　　由反函數定義，下面兩個等式恒成立：

y-f(f^-1(y))=0 (y∈M)，

x-f^-1(f(x)=0 (x∈D)。

由此，例如從前一等式出發，可以把函數 x= f ^-1( y)看作由方程 y- f( x)=0確定的隱函數。

　　函數概念的推廣　以上談到的都是隻含一個自變量的函數，並且集D和M都限定為實數集，即所謂的“一元(實)函數”。然而在數學及其應用中，考慮多元（n元，n≥2）函數是必要的。不僅如此，數學科學的近代發展還一再導致瞭函數概念的其他推廣：集D和M從實數集推廣到復數集，進而更推廣到任意兩個集的情形。例如，如果讓平面上每一個圓x對應到它的面積y，那麼y將是x的函數。在這裡x就不再是數而是幾何圖形。如果讓空間的每一個球x對應到它的中心y，則y也將是x的函數。這時，x與y都已不再是數瞭。

　　函數的一般定義可以陳述如下。設D={x}，Y={y}為兩個任意的非空集，而f為滿足下述條件的有序對(x，y)的集：x∈D，y∈Y，且對於每一元素x∈D，恰有一元素y∈Y使得(x，y∈f，這時便稱f為定義於D上的一個函數，記作f：D→Y或f，有時也記作y=f(x)(x∈D)或f(x)(x∈D)。集D稱為函數f的定義域。對於任一元素x₀∈D，由函數定義恰有一元素y₀∈Y使得x₀，y₀)∈f，人們稱這個元素y₀為函數f在x₀的函數值，記作f(x₀)，集M=f(D)={f(x)|x∈D}⊂Y稱為函數f的值域。函數f：D→Y常常就看作f：D→M。

　　在這個一般定義下，隨著集D和M的不同，將得到不同類型的函數。

　　首先，如果M⊆R，則稱f為實值函數。設f是一個實值函數，如果還有D⊆R，則f顯然就是以前談到的一元（實）函數；如果D⊆Rⁿ（n維實歐氏空間），那麼D的每個元素x為一個有序n實數組(x₁，x₂，…，x_n)，這時人們常常用一個便於聯想的名字來稱呼函數──n元(實)函數，並把函數y=f(x)記作y=f(x₁，x₂，…，x_n)。如果n≥2，這樣的n元實函數統稱為多元實函數。可以類似於一元實函數考慮多元實函數的圖像。特別對二元實函數z=f(x，y)(x，y∈D)來說，其圖像，即集

　　　 {(x，y，z)｜(x，y∈D，z=f(x，y)}常常可以在三維空間滿意地作出，它為一張曲面。

　　如果D為實數集，M為復數集，這時稱f為實變元的復值函數；如果D和M都是復數集，這時稱f為含一個復變元的復值函數，常簡稱為單復變函數（見復變函數論）。

　　如果M⊆R^m(m＞1)，則稱函數f為向量值函數。向量值函數常以黑體字記之，如y=f(x)，g(x)等等。倘若還有D⊆Rⁿ，那麼給定一個這樣的向量值函數等價於給定m個n元實函數：

式中的函數 f _k(1≤ k≤ m)稱為向量值函數 f的第 k個分量。向量值函數 f又常表示成

。

定義域 D為 R ⁿ的子集的向量值函數有時也叫做從集 D到集 M的變換或映射。

　　D⊆R時，也就是定義域為實數集時的向量值函數專稱它為純量x的向量值函數。一元實函數微積分學中的一些最基礎的概念，如極限、導數、積分等等都比較容易地推廣到這種向量值函數上。具體說來，設

是純量 x的向量值函數，那麼可以通過以下的等式定義對 f的極限、求導和積分運算：

這裡假定這些等式右端的有關分量都是有意義的。同樣地，所謂這函數在某一區間上連續、可微、可積，也是指這函數的每個分量在所說的區間上具有相應的性質。在討論幾何與物理問題時，常常用到向量值函數。

　　推廣瞭的函數的一般定義把諸如算子和泛函（包括某些廣義函數）等概念都包含瞭進去，但是當D、M的元素是比數更抽象的數學對象時，人們還是願意更多地使用那些專設的函數名稱。