具特定形式的一階常微分方程組（運動方程組）與一個相應的偏微分方程的關係的理論。它來源於分析力學，對經典力學、理論物理、微分方程、微分幾何都有重要的意義。
變分學與哈密頓方程 n自由度力學系(q1，q<2，…，qn)的拉格朗日函數l(q，鵂)＝T-U，其中T、U分別是力學系的動能和勢能。哈密頓最小作用原理指出，力學系的運動q=γ(t)使作用
L(у)＝
達到駐定值。由變分學知道，使
L(у)達到駐定值的
q=у(
t)是歐拉－拉格朗日方程
(1)
的解。這是
n個二階常微分方程，稱為拉格朗日方程組。
經典力學研究力學系有兩種途徑。一是由(1)研究(q，鵂)隨t的變化。{q}構成力學系的構形空間M，它是一個微分流形，鵂是M的切向量。這種途徑稱為拉格朗日力學，可以說是力學的切叢表述。
另一途徑是引入廣義動量p=(p1，p2，…，pn)，
，同時通過勒讓德變換引入哈密頓函數
而得到(
q，
p)所滿足的哈密頓方程組（或稱典則方程組，見
哈密頓系統）
， (2)
這個途徑稱為哈密頓力學。由於
p是
M的餘切向量，哈密頓力學可以說是力學的餘切叢表述。
在哈密頓力學中最小作用原理也有相應的表述形式，也可討論拉格朗日函數與哈密頓函數顯含時間t的情況。
研究哈密頓力學的數學理論框架，也稱為哈密頓形式化。它對許多數學分支以及力學、理論物理都有重大的意義。
典則變換 典則方程組(2)有許多重要的性質。例如，在運動軌道p=p(t)，q=q(t)上h(p，q)守恒，
由於
h=
T+
l，上式實即沿運動軌道機械能守恒。又如，任一力學量
F(
p，
q)在運動軌道上恒適合方程
，
{
h，
F}是經典力學中的泊松括號（見
一階偏微分方程）。
為瞭討論典則方程組，最有效的方法是作一個變換
φ：(p，q)
(
P，
Q)=(
P(
p，
q)，
Q(
p，
q)) (3)
使(2)化簡，但由於典則方程組有如上的重要特性，所以仍希望保持其形狀。這種變換稱為典則變換。典則變換有一些等價的定義。例如，它可定義為保持泊松括號不變的變換。然而，因為有
，
故由(3)式所表示的
P、
Q也適合
，
。
利用(3)中的φ 的雅可比矩陣φ
1，上述可以表示為
，
若矩陣
A（或線性變換
A）適合
A
_
1
J
A＝
J，則稱
A為辛矩陣（或辛變換），所以典則變換的雅可比矩陣都是辛矩陣。其逆亦然。所以典則變換也可定義為雅可比矩陣為辛矩陣的變換(3)。
典則變換的重要例子如下：設函數S(q，P)適合
。令
，則
是局部的典則變換。又如，考慮典則方程組的初值問題：
，
，
，
它的解當｜
t｜充分小時為微分同胚。{
g
t}稱為哈密頓相流：(
P，
Q)=
g
t(
p，
q)。對於每個固定的
t，
g
t都是典則變換。
典則變換的重要性可從下例看出：著名的開普勒問題是討論質量為m的質點在勢能為U（r）=-k／r的有心力場中的運動。采用極坐標（r，θ）則拉格朗日函數是
，作勒讓德變換
，其哈密頓函數是
，由於
h中不顯含
θ，故有
而有
p
θ＝常數。這就是角動量守恒。再聯系到能量守恒，就可容易地解決這個問題。
由直角坐標變為極坐標所起的關鍵作用在於使H中不顯含θ，從而得到一個守恒律。如果作一典則變換（上述坐標變換也可擴充為典則變換）使某些坐標qi不出現在h中，那麼也可以得到相應的守恒律pi=常數。這種qi稱為循環坐標。守恒律就是典則方程組的初積分。利用它可以降低方程組的階。這是求解典則方程組最常用的方法。
生成函數、哈密頓－雅可比方程 作典則變換φ：(p，q)
(
P，
Q)最重要的方法是利用生成函數：在一定條件下存在函數
S(
p，
Q)使得
，於是
，
。
這是一個典則變換，
S稱為其生成函數。
一般地，S可以顯含時間t。可以證明S適合偏微分方程
。 (4)
(4)稱為哈密頓－雅可比方程，簡稱H－J方程。
典則方程組(2)是(4)的特征方程組。由一階偏微分方程理論知，可以通過求解(2)而得出H-J方程的解。但是還有與此對偶的一方面：即通過求解H-J方程得到S，而S是(2)之解作為典則變換的生成函數。從而可解出典則方程組(2)，其法如下：
作H-J方程的完全積分（見一階偏微分方程）
，
令
（新的參數），
，由它們解出
q=
q(
t，
α，
b)，
p=
p(
t，
α，
b)即得(2)的一族含
2
n個參數(
α，
b)的解。
以上指出的典則方程組與 H-J方程的關系之兩個對偶的方面，有深刻的物理意義。人們很早就發現光的傳播，服從一個與最小作用原理很相似的變分原理──費馬原理，因而也可以作出典則方程組和 H-J方程的類似物。力學中的運動軌道相應於光學中的光線，光線是幾何光學的基本概念。而生成函數S所成的一族曲面S=常數，則相應於波前面，它是物理光學的基本概念。上述的二者的對偶關系正是反映瞭幾何光學與物理光學的聯系。力學與光學之間的這種類比，是量子力學的基礎之一。