H^p空間

　　又稱哈代空間，勒貝格空間(l^p)以外重要的函數空間之一。

　　單變數的h^p空間，最早來源於複變函數論。設F(z)在複平面的單位圓D((｜z｜＜1)內解析，量

　　(1)

刻畫瞭 F的模的 p次冪在圓周 ｜ z｜= r上的平均值的大小。假如它對0＜ r＜1有界，其中0＜ p＜∞，則稱 F是屬於 h ^p( D)的。當 p≥1時，用 μ ^p( F， r)在0＜ r＜1的上確界定義 F的 h ^p模，即

，

則 h ^p( D)組成一可分的 巴拿赫空間，當0＜ p＜1 時，用 的上確界定義 F與 G的距離，即

，

則 h ^p( D)組成一可分的完備的 度量空間。 h ^p( D)是復變函數論的一個重要的研究對象。

　　可以證明，當F∈h^p(D)(0＜p＜∞) 時，F(z)在單位圓周上的邊值幾乎處處存在，即

。

這時 f( θ)定義在0≤ θ≤ 2 π上（也可以看作一周期為 2 π的函數），且滿足相應的不等式

。　　　　(2)

這樣，在這些以 2 π為周期的復值函數 f( θ)與單位圓內的 h ^p( D)中的函數 F( z)之間，建立瞭一個對應關系： f( θ)是 F( z)在｜ z｜=1的某種意義的邊值，而 F( z)是 f( θ)到單位圓內的解析開拓。全體這樣的 f( θ)記作 h ^p( T)。它是與 h ^p( D)同構的一個空間。 h ^p( T)同以 2 π為周期的勒貝格空間 l ^p( T)的區別在於： h ^p( T)的函數 f( θ)不僅滿足不等式(2)，而且它還必須是某個滿足

的單位圓內的解析函數 F( z)的邊值。由此不難證明，當 p＞1時， h ^p( T)同構於 l ^p( T)，但當0＜ p≤1時，兩者就不同構瞭。例如在 p=1時， h ¹(T)本質上不同於 l ¹(T)。事實上 h ¹(T)同構於 l ¹(T)的一個真子空間，它由全體使得歾( θ∈ l ¹( T)的 f∈ l ¹( T)組成，其中歾( θ)是 f( θ的共軛函數，其定義由下面的等式給出

。

並且 的大小與 的大小是差不多的。歷史上，1915年英國數學傢 G.H.哈代引入瞭 h ^p函數類，1923年匈牙利數學傢 F.（F.）裡斯證明它們是完備的賦范空間或度量空間，並命名它們為哈代空間或簡稱 h ^p空間。

　　對於上半平面

內的解析函數 F( z)，其中 z= x+ i y，可以類似地用

在 y＞0上有界來定義 。這時它們的邊值

就是定義在實數軸 R上的函數，而不是周期函數瞭。全體這樣的函數記作 h ^p( R)。

　　在傅裡葉分析中，有很多定理對l^p(p＞1)成立，對l¹並不成立，但對h¹，相應的結果卻是對的。典型的例子是哈代-李特爾伍德定理：如果f∈l^p(T)(1＜p≤2)是周期函數，它的傅裡葉級數是

，則

。

這定理對 p=1是不正確的。但可改為，若 f∈ h ¹(T)， f( θ)的傅裡葉級數為 ，則定理的結果對 p=1成立，即

。

由此可見，在討論傅裡葉分析的許多問題中， h ^p是較 l ^p更為合適的空間（當0＜ p≤1）。

　　多變量h^p空間的建立卻要晚得多，這是因為單元h^p空間的定義緊密依賴於單元解析函數，然而形式地通過多元解析函數來定義多元h^p空間，由於多元解析函數較單元解析函數復雜得多，未能得到預期的結果，因此需要尋求另外的辦法。1960年E.M.施坦和G.韋斯把上半平面的解析函數的實部與虛部的概念推廣到n+1維歐氏空間的上半空間

，得到共軛調和函數系的概念。在 的前提下，定義瞭 。與上半平面的情形相類似，共軛調和函數系在 y→0+時的邊值函數構成 h ^p( R ⁿ)。1964年A.P.考爾德倫與A.贊格蒙把 的條件改進為 p＞0，但形式上十分復雜。把 h ^p( R)瞭解為 h ^p( R ₊ ²)的 廣義函數意義的邊值，1970年D.L.伯克霍爾德、R.F.岡迪與M.L.西爾弗斯坦證明瞭廣義函數 f是 h ^p( R)( p＞0)中某個元素的實部的充分必要條件是極大函數

　 　(3)

式中 φ( x)是具有一定光滑性且在無窮遠附近的大小受一定限制的函數， ，*表示卷積。1972年C.費弗曼和斯坦把這個結果推廣到瞭多元的情形。值得註意的是， M( f∈ l ^p這條件完全和解析函數的概念無關，它給出瞭 h ^p空間的實變函數論特征。這樣，就可以用類似於(3)的條件來定義 h ^p( R ⁿ)本身而無須借助任何解析函數或調和函數的概念瞭。

　　1972年費弗曼和施坦還證明瞭，h¹(Rⁿ) 的對偶空間是BMO空間。h¹和BMO對偶關系的發現，使人們對這兩個空間的認識深入瞭一大步。它們已經成瞭L^p(Rⁿ)(1≤p≤∞)空間理論的必不可少的補充。

　　近年來，數學傢還找到瞭h^p空間的許多其他特征，使h^p空間有許多的推廣。傅裡葉分析、復分析、泛函分析以及偏微分方程的許多問題，都是在h^p空間與BMO空間中進行討論的。此外，h^p空間和BMO空間理論也進入到瞭概率論的鞅論中。