廣義逆矩陣-百科詞條

　　逆矩陣概念的推廣。若A為非奇異矩陣，則線性方程組Ax=b的解為x=A^_¹b<，其中A的逆矩陣A^_¹滿足AA^_¹=A^_¹A=I(I為單位矩陣)。若A是奇異陣或長方陣，Ax=b可能無解或有很多解。若有解，則解為x=Xb+(I-XA)у，其中у是維數與A的列數相同的任意向量，X是滿足AXA=A的任何一個矩陣，通常稱X為A的廣義逆矩陣，用A^g、A^_或A

等符號表示，有時簡稱廣義逆。當 A非異時， A ^_ ¹也滿足 A A ^_ ¹ A= A，且

。故非異陣的廣義逆矩陣就是它的逆矩陣，說明廣義逆矩陣確是通常逆矩陣概念的推廣。

　　1955年R.彭羅斯證明瞭對每個m×n階矩陣A，都存在惟一的n×m階矩陣X，它滿足：①AXA=A；②XAX=X；③(AX)^*＝AX；④(XA)^*＝XA。通常稱X為A的穆爾-彭羅斯廣義逆矩陣，簡稱M-P逆，記作A⁺。當A非異時，A^_¹也滿足①～④，因此M-P逆也是通常逆矩陣的推廣。在矛盾線性方程組Ax＝b的最小二乘解中，x＝A⁺b是范數最小的一個解。

　　若A是n階方陣，k為滿足

的最小正整數（rank為矩陣秩的符號），記作 k=Ind( A)，則存在惟一的 n階方陣 X，滿足：

(1)A^kXA=A^k；(2) XAX=X；(3)AX=XA。

通常稱 X為 A的德雷津廣義逆矩陣，簡稱 D逆，記作 A _d， A ^(d)或 A ^D等。雖然它和線性代數方程組的解無關，但它在線性差分方程、線性微分方程、最優控制等方面都有應用。例如，設 A、 B是 n階方陣，齊次差分方程

，如果存在一個數 λ，使

存在，則它的一般解為

式中 q為任意 n維向量；

；

。

　　根據實際問題需要還定義瞭其他各種類型的廣義逆矩陣，如網絡理論中用到的博特-達芬逆矩陣等。一般說來，它們都具有下列一些性質：當A非異時，廣義逆矩陣就是A^_¹；廣義逆矩陣必存在；廣義逆矩陣具有逆矩陣的某些性質(或適當修改後的性質)，如(A^_¹)^_¹=A，(A^_¹)^*=(A^*)^_¹等等。

　　廣義逆的思想可追溯到1903年（E.）I.弗雷德霍姆的工作，他討論瞭關於積分算子的一種廣義逆（他稱之為偽逆）。1904年，D.希爾伯特在廣義格林函數的討論中，含蓄地提出瞭微分算子的廣義逆。而任意矩陣的廣義逆定義最早是由E.H.穆爾在1920年提出的，他以抽象的形式發表在美國數學會會刊上。當時人們對此似乎很少註意。這一概念在以後30年中沒有多大發展。曾遠榮在1933年，F.J.默裡和J.馮·諾伊曼在1936年對希爾伯特空間中線性算子的廣義逆作過討論。20世紀50年代圍繞著某些廣義逆的最小二乘性質的討論重新引起瞭人們對這個課題的興趣。1951年瑞典人A.佈耶爾哈梅爾重新發現瞭穆爾所定義的廣義逆，並註意到廣義逆與線性方程組的關系。T.N.E.格雷維爾、C.R.拉奧和其他人也作出瞭重要的貢獻。1955年，彭羅斯證明瞭存在惟一的X=A⁺滿足前述性質①～④，並以此作為A⁺的定義。1956年，R.拉多證明瞭彭羅斯定義的廣義逆與穆爾定義的廣義逆是等價的，因此通稱A⁺為穆爾-彭羅斯廣義逆矩陣。

　　廣義逆的計算方法大致可分為三類：以滿秩分解和奇異值分解為基礎的直接法，迭代法和其他一些常用於低階矩陣的特殊方法。

　　以A⁺的計算為例。若A是一個秩為r的m×n階非零矩陣，記作

，有滿秩分解 A= F· G，其中

，則

，即將廣義逆矩陣的計算化為通常逆矩陣的計算。常用LU分解和 QR分解等方法實現滿秩分解，然後求出 A ⁺。

　　若A有奇異值分解A=UDV^*，其中U、V為m階和n階酉矩陣，

是 m× n階矩陣，

是 r階對角陣，對角元

是 A的 r個非零奇異值（ A A ^*的非零特征值的平方根），則 A ⁺= VD ⁺ U ^*，其中

是 n× m階矩陣。也可用豪斯霍爾德變換先將 A化為上雙對角陣 J ₀= P ^* A Q，然後再對 J ₀使用 QR算法化為矩陣 D= G ^* J ₀ h，於是 A=( P G) D( Q h) ^*，故 A ⁺¹=( Q h) D ⁺( P G) ^*。

　　設λ₁是AA^*的最大非零特征值，若0＜α＜2/λ₁，則計算A⁺的一個迭代法是x₀=αA^*，x_n₊₁=(2I-Ax_n)，當n→∞時，x_n收斂於A⁺。

　　格雷維爾逐次遞推法也是計算A⁺的常用方法。設A的第k列為α_k(k=1，2，…，n)，A₁=α₁，A_k=(A_k_-1，α_k)(k＝2，3，…，n)，則

，

式中　　

；

　　1955年以後，出現瞭大量的關於廣義逆矩陣的理論、應用和計算方法的文獻。70年代還出版瞭一些專著和會議錄，指出廣義逆矩陣在控制論、系統辨識、規劃論、網絡理論、測量、統計和計量經濟學等方面的應用。

參考書目

　S.L.Campbell and C.D.Meyer，Jr.，Generalized Inverses of Linear TransforMations，Pitman，London，1979.

　M.Z.Nashed，ed.，Generalized Inverses and Applications，Academic Press，New York，1976.