A.愛因斯坦所提出的引力理論。這一理論把引力場和時空結構聯繫起來，引入瞭四維洛倫茨流形作為現實時空的模型，這種流形的幾何學在很小範圍中接近於四維閔科夫斯基空間R3，1的幾何學，但從較大範圍來看，它和閔科夫斯基空間有顯著的差別，是一種彎曲的時空。
一個四維的洛倫茨流形M
所組成的標架。參考於這個標架，
T
x的任一切向量
λ可表示為
，
兩個向量
λ，
μ的內積應具形式
，
這裡(
g
ij)構成一個符號為(+，+，+，-)的對稱陣。
M
4在這個坐標區域中的洛倫茨度量就用
來表示。
和黎曼幾何一樣，依據流形的度量，可以作它的克裡斯托費爾記號（列維-齊維塔聯絡），曲率張量和裡奇張量。由於曲率張量一般不是0，所以說廣義相對論的時空是彎曲的時空。依照切空間的內積，流形的切向量可分為類時、類空、類光等三類，粒子運動的軌線就表示為M4的一條曲線，稱為世界線，它的切向量不能是類空的。
愛因斯坦的廣義相對論的基本思想是：四維時空的幾何結構和其中的物質分佈與運動是互相聯系的，這種聯系可以用引力場方程
來表示，這裡
ij是裡奇張量，
R是數量曲率，
G是引力常數，
ij是表示物質分佈和運動的能量動量張量。特別在真空區域中就應成立。
ij=
0
廣義相對論的另一基本思想是：在具物質分佈的時空中，一個質量很小的隻受引力場作用的試驗質點的運動軌線（世界線）就是這個洛倫茨流形的測地線，從而使引力場理論成為一種幾何的理論。到20世紀30年代，A.愛因斯坦和L.英菲耳德還指出，這一結論事實上可以作為場方程的推論。
在廣義相對論中，一般說來並不明顯地分出一個時間坐標和三個空間坐標，但是，在這時空中一個運動著的觀察者仍然可以把他自己所經歷的時空歷程記錄下來，如有兩個曾瞬時會合在一處的觀察者，通過不同的運動軌線而重新會合時，就會發現，他們所記錄的最終“時空位置”是互不相同的，這便是時空彎曲性的體現。
利用切空間的洛倫茨標架，可以把狹義相對論中的各種物理量在廣義相對論中表述出來，這種物理量的變化規律一般可以用微分方程描述，由於現在可以選取的坐標比狹義相對論時廣泛得多，所以愛因斯坦要求物理規律在不同的坐標系中的表示形式應該是依一定的規則（符合群的要求）都可以互相轉換的，這便是廣義相對性原理。
但是，在廣義相對論中，如同一切幾何問題一樣，特殊坐標的選取仍然有其重大的意義。例如，在考慮一個球狀物體對周圍的真空所產生的引力場時，就可以選取特定的坐標，而得出施瓦茨希爾德解，通過這個解，可以對下列現象進行精確的計算。
① 水星近日點的進動；
② 光線通過太陽附近受引力場影響而產生的彎曲；
③ 光譜因引力而產生的向波長長的方向的偏移(稱為引力紅移)。
這三個現象的實驗驗證，使廣義相對論的地位得以鞏固下來。
廣義相對論有許多數學問題需要研究，例如：
① 柯西問題和奇點 已知某一時刻的時空結構、物質分佈和瞬時運動，求未來（或追溯過去）的時空結構和物質分佈與運動。對小范圍和短時間，問題已得到解決，但對長時間來說，可能要產生奇性。如何解釋奇點還有許多不清楚的地方，除瞭時空強烈彎曲外，這還和物質的高度密集狀態下的物理性質有關。
② 引力場方程的精確解 盡可能多地作出引力場方程的有物理意義的精確解，除施瓦茨希爾德解外，最著名的還有克爾解等等。
③ 引力波 依照廣義相對論，引力作用並不是超距的，而是在時空中傳播的，人們很希望能接受到它，由於引力波很微弱，要接收到引力波是一件很困難的事。
④ 時空的大尺度結構 人們希望對我們所處的時空能有一個整體的描述，這已成為一門專門的學問，即“宇宙論”，它必須用到整體的微分幾何。
⑤ 引力場的微觀結構 即引力場的量子化問題，問是否存在某些“引力子”作為引力場的媒介。
⑥ 引力作用和其他三種相互作用(電磁、弱、強)的統一理論。
愛因斯坦在研究廣義相對論時，得到瞭數學傢M.格羅斯曼的幫助，在他掌握瞭黎曼幾何和張量分析之後，才完成瞭他的理論，而廣義相對論的近年的發展則受到整體微分幾何的強烈影響。許多研究都用到整體微分幾何，例如，施瓦茨希爾德解，克爾解的整體結構的分析，使人們認為大質量星體在發展的晚期在引力作用下可能會坍縮為“黑洞”，它具有極強的引力，使得在經典理論意義下，物質（包括光）均隻能進入黑洞而不能逃逸，又如在漸近平坦的時空結構中，已可嚴格論證，引力現象必須由正的質量所產生（正質量猜測）。
另一方面，黎曼幾何的研究是由於受到瞭廣義相對論的影響而蓬勃發展起來的，近年來，洛倫茨流形的整體微分幾何學也處於很活躍的狀態。