積分方程的核K(y，y)若與其共軛核
相同，即
，(
x<，
y∈[
α，
b])，則
K(
x，
y)稱為對稱核，或埃爾米特核。具有對稱核的第二種
弗雷德霍姆積分方程
(1)
稱為對稱核積分方程，或簡稱對稱方程。
對稱核的一切特征值都是實的。不同的特征值所對應的特征函數是正交的。對稱核的特征值是可列的。對應於每個特征值的線性無關的特征函數是有限的，因此，可就對應於同一個特征值的最大個數的線性無關特征函數進行正交標準化，從而，線性無關的特征函數的全體構成一個正交標準的特征函數序列。
為瞭方便，通常規定一個特征值僅對應於一個特征函數（若某一特征值對應於n個線性無關的特征函數，則視該特征值有n個）。於是可按特征值的絕對值大小排列：
與之相應的正交標準的特征函數序列為
(2)
對稱核
K(
x，
y)的特征函數序列(2)也是
K(
x，
y)的任意
m次疊核
K
m(
x，
y)的特征函數序列。
K
m(
x，
y)的一切特征值所成之集與
K(
x，
y)的一切特征值的
m次乘冪組成之集相同。
D.希爾伯特和E.施密特證明瞭關於對稱方程的一個基本定理，即每個非零的對稱核至少有一個特征值。設
，記
，則對稱核最小特征值
λ
1的絕對值的倒數等於(
)的絕對值｜(
)｜在條件(
φ，
φ)=1下的極大值，且當特征函數
φ
1(
x) 與最小特征值
λ
1對應時，有
。類似地，有
，其中
φ還同時滿足(
φ，
φ
m)=0，
m=1，2，…，i-1。應用這個定理可以求特征值的近似值，如常用的裡斯方法即以此為根據。
設λ1，λ2…是對稱核K(x，y)的一切特征值，φ1(x)，φ2(x)，…是相應的正交標準的特征函數序列，h(x)是[α，b]上平方絕對可積的函數，而且積分
關於
x均勻有界，則函數
可按正交標準的特征函數序列 {
φ
i(
x)}展成為絕對一致收斂的級數：
，
式中
。這就是著名的希爾伯特-施密特展開定理。
根據這個定理，可得到關於對稱核及其疊核的展開式：
，同時關於兩個變量是收斂和均值收斂的。
，當
m≥3時，它同時關於兩個變量
x、
y是絕對一致收斂的，而當
m=2時，任固定一個變量則對另一個變量是絕對一致收斂的。
若對稱核K(x，y)是連續的，則有更好的結果，即梅瑟爾定理：設K(x，y)隻有有限個正的或負的特征值，則
同時關於兩個變量
x、
y是絕對一致收斂的。
令
。由希爾伯特-施密特展開定理可知，
。若對任意的平方絕對可積的函數
p(
x)，恒有
J≥0，則稱
K(
x，
y)是正核；若
J＞0，則稱
K(
x，
y)是正定核。否則使
J≤0(
J＜0)的核稱為負核(負定核)。可以證明，對稱核為正（負）核的充分必要條件是它的一切特征值都是正（負）的。對稱正(負)核為正定（負定）核的充分必要條件是核的特征函數序列是完備的。
希爾伯特－施密特展開定理還可用來解非齊次對稱方程。若λ不是核K(x，y)的特征值；則非齊次方程(1)有惟一解φ(x)，且可表為
，其中級數是絕對一致收斂的。若
λ是核
K(
x，
y)的某個特征值，即
λ=
λ
p，它的秩為
q，則非齊次方程(1)當且僅當
，(
m=
p+1，
p+2，…，
p+
q)滿足時才可解，且其解
φ(
x)可表為
