現代數學中一種基本的、重要的、最接近於歐幾裏得空間的抽象空間。19世紀末葉，德國數學傢G.康托爾創立瞭集合論，為各種抽象空間的建立奠定瞭基礎。20世紀初期，法國數學傢M.-R.弗雷歇發現許多分析學的成果從更抽象的觀點看來，都涉及函數間的距離關係，從而抽象出度量空間的概念。具體說來，如果X是一集合，d是定義在X×X上的非負實值函數，使得對任何x，y，z∈X有：①d（x，y）=0的充要條件是x=y；②d（x，y）=d(y，x)；③d(x，z)≤d(x，y)+d(y，z)。這時便稱X是一個度量空間，d(x，y)稱為x與y之間的距離。
下面是幾個度量空間的例子。
歐氏空間Rn 由所有的n元實數組(x1，x2，…，xn)構成集合Rn，Rn中元素x＝(x1，x2，…，xn)與y＝(y1，y2，…，yn)之間的距離定義為
。
希爾伯特空間H
其中
R表示實數集合。定義元素
x=(
x
1
x
2，…，
x
n，…)及
y=(
y
1，
y
2，…，
y
n…)之間的距離為
。
貝爾空間B B={(x1，x2，…，xn，…)│(xn∈R，n=1，2，…)}對於兩個不同的元素x=(x1，x2，…，xn，…)及y=(y1，y2，…，yn，…)，用m(x，y)表示滿足xn≠yn的最小標號n，定義x與y之間的距離為
；再規定
d(
x，
x)=0（
x∈
B）。一般假設
Ω是任意一個集合，取
X={(
x
1，
x
2，…
x
n，…)|
x
n∈
Ω)，可以按同樣的方法定義
m(
x，
y)與
d(
x，
y)，得到的度量空間也稱作貝爾空間。
函數空間 處理分析問題時，根據具體情況需要可以引入種種函數空間。例如，考慮定義於閉區間[0，1]上的一切連續實值函數的集合，就可以定義兩個函數f和g的距離為
對於度量空間X，可以利用它的度量d引進一個拓撲結構，其基的元就是所有的開球B(x，r)={y∈x｜d(x，y)＜r}。這種拓撲結構稱為由度量d產生；同一集合上，不同的度量可以產生相同的拓撲結構。例如，對於實數集R，d(x，y)=｜x-y｜與
就產生同一個拓撲結構。度量不是拓撲概念。
完備度量空間 在度量空間中可以用距離定義點列的收斂概念：xn→x0就是指d（xn，x0）。點列{xn}稱為柯西點列，是指對任意正實數ε，都存在自然數N，使得m、n≥N時有
。可以證明收斂點列一定是柯西點列，反過來並不成立。每個柯西點列都收斂的度量空間叫做完備度量空間。這類空間有許多好的性質。例如，完備度量空間中壓縮映射原理成立。可以用它證明微分方程、積分方程以及無限線性代數方程組的一系列存在惟一性定理。度量空間
X的任何子集
Y配上原有的距離也成為度量空間，稱作
X的子空間。如果每個開球{
x∈
X｜
d(
x
0，
x)＜
r}都含有
Y的點，便說
Y是
X的稠密子空間。
完備化定理 每一度量空間X都是另一完備度量空間X
的稠密子空間，而且
X
由
X惟一構造出來。例如，實數直線就是有理數集的完備化，20世紀初建立嚴密的數學分析理論正是基於這一重要事實。
可以證明：在完備度量空間中可數多個稠密開子集的交仍是稠密集。
可度量化拓撲空間 度量空間具有許多良好性質，例如，它滿足第一可數公理，它是豪斯多夫空間，正規空間，還是仿緊空間。此外對度量空間而言，緊致性等價於下列三條中的任一條：①任何可數開覆蓋都有有限子覆蓋；②每一無限子集都在空間中有聚點：③每一點列都有收斂子列。緊度量空間一定滿足第二可數公理從而必是可分的。實際上對於度量空間而言，可分性與第二可數公理等價。因此，一個拓撲空間的拓撲結構在什麼條件下能作為一個度量空間的拓撲？這是拓撲空間理論的重要問題，稱作度量化問題。50年代長田潤一。ю.М.斯米爾諾夫以及R.H.賓得到瞭可度量化問題的重要結果。例如，拓撲空間可度量化的充要條件是：它是T1正則空間，且具有一個基
，其中每個
B
n都是局部有限的開集族。