堆壘數論-百科詞條

　　又稱加性數論，是關於所謂加性問題的一個數論分支。它主要研究如下類型的問題及其變形：設N是全體非負整數集合；A₁，A₂，…，A_s是N的有限個或可數個子集合。試判定對N中的每一n，方程

是否可解或其解數 r( n)，其中 α _j∈ A _j(1≤ j≤ 凣)。這類問題與整數集合的加法性質有關。例如，著名的多角數問題。設整數 m≥3，由遞推公式

所確定的數

( n=0，1，2，…)，稱為 m角數。這類數統稱為多角數。易證

，顯然四角數就是平方數。1636年，P.de費馬猜測：每個自然數都是 m個 m角數之和。J-L.拉格朗日於1770年和A.-M.勒讓德於1798年分別證明瞭 m＝4和 m＝3時猜測是成立的。1813年，A.-L.柯西證明瞭這個猜測。

　　L.歐拉在研究整數分拆時，註意到由於

，所以 r( n)的母函數

，基於這一點，他提出瞭母函數法。它是堆壘數論的一個重要研究方法。堆壘數論與模形式論有密切關系。在研究哥德巴赫猜想和華林問題中，近代堆壘數論自20世紀20年代開始發展起來，主要的研究方法有圓法、指數和方法、篩法和密率。

　　堆壘數論中有以下幾個著名問題。

　　平方和問題　求不定方程

的整數解的個數 r _s( n)，其中 s是給定的正整數。例如， r ₂(3)=0， r ₂(5)=8， r ₂(9)=4。平方和問題與模形式有密切關系， r _s( n)的母函數

。當 s≤24時， r _s( n)的表達式均已得到。例如，1829年，C.G.J.雅可比證明

1919年，G.H.哈代、J.E.李特爾伍德和S.A.拉馬努金利用圓法得到瞭當 s≥5時 r _s( n)的漸近公式。H.D.克洛斯特曼於1926年和T.埃斯特曼於1962年討論瞭形如

的平方和問題。

　　哥德巴赫猜想　C.哥德巴赫和L.歐拉1742年的數次通信中提出的猜測：①每個大於4的偶數是兩個奇素數之和。如6=3+3，14=3+11=7+7=11+3；②每個大於7的奇數是三個奇素數之和。如9=3+3+3，15=3+5+7=3+7+5=…=7+5+3=5+5+5。由於2n+1=(2n-2)+3，所以從①成立可推出②成立。1923年，哈代和李特伍德應用圓法研究這兩個猜測，得到瞭一些重要的條件結果。在此基礎上，И.М.維諾格拉多夫於1937年通過改進圓法和利用他的估計線性素變數指數和方法，證明瞭每個充分大的奇數n是三個奇素數之和，且其表法個數

。基本上解決瞭猜想。②這一結果通常稱為哥德巴赫－維諾格拉多夫定理或三素數定理。利用他的思想，華羅庚等五位數學傢於1937～1938年間各自獨立證明瞭：幾乎所有的偶數是兩個奇素數之和。1980年，已驗證對所有不超過1 0 ⁸的偶數，猜想①是成立的，但是猜想①至今仍未解決，類似猜想②的結果也沒有得到。於是轉而研究較弱的命題{ r， s}：每個充分大的偶數是不超過 r個素因數的乘積與不超過 s個素因數的乘積之和。猜想①大體上就是命題{1，1}。篩法是研究命題{ r， s}的主要方法。V.佈龍用他所提出的方法即所謂佈龍篩法，於1920年首先證明瞭命題{9，9}。1950年前後，A.賽爾伯格提出瞭一種篩法，並宣稱利用他的方法可以證明命題{2，3}。1957年，王元利用賽爾伯格篩法首先證明瞭命題{2，3}。1948年，利用佈龍篩法與林尼克篩法，A.雷尼證明瞭命題{1， s}，這裡的 s是一個未計算出的大常數。通過對篩法和大篩法的不斷改進，1962年，潘承洞首先得出 s=5；1966年，陳景潤得出 s=2是迄今最好的結果，通常稱之為陳景潤定理。

　　華林問題　1770年，E.華林推測：每個正整數是4個平方數之和、9個立方數之和、19個4次方數之和等等。其意是他認為：對任意給定的整數k≥2，必有一正整數s(k) 存在，使得每個正整數必是s(k)個非負的k次方數之和，即不定方程(*)

對所有整數 n≥0有非負整數解 x _j（1≤ j≤ s）。1909年，D.希爾伯特用復雜的方法證明瞭 s( k)的存在性，首先解決瞭華林的這一猜想。其後，ю.Β.林尼克利用密率於1943年給出瞭 s( k)存在性的另一證明。華林還猜測 s( k)的最小值

。1770年拉格朗日證明瞭 g(2)=4；1909年A.威弗裡奇證明瞭 g(3)=9。易證 g( k)≥2 ^k+

。設 g( k)是使方程(*)對充分大的 n可解的 s( k)的最小值。利用 g( k)的上界估計，可進一步證明如下結果：①當k≥6，有條件

時，則

。1964年R.M.斯泰姆勒爾驗證瞭此條件在6≤ k≤200000時成立。1957年K.馬勒爾證明當 k充分大時此條件一定成立，並猜測對所有 k≥6這條件都成立。②1964年陳景潤證明瞭 g(5)=37，1985年R.巴拉薩佈雷尼安和 F.德雷斯證明瞭 g(4)=19。至此，關於 g( k)的研究已基本完成瞭。

　　1920～1928年，哈代和李特爾伍德利用圓法研究華林問題。易證方程(*)的解數

。

他們把區間[0，1]分為 K ₁和 K ₂兩部分，其分法與 n有關。於是，

。他們想要證明(**)：對於滿足一定條件的 s、 k，當 n→

時有

。但卻隻證明瞭當 s≥ 2 k+1時，

，

式中

（ n）為某一奇異級數。1957年，華羅庚證明瞭當 s≥ k+1時成立，這是最佳的結果。1938年，華羅庚結合指數和估計方法，證明瞭（**）式當 s≥ 2 ^k+1時成立。1947年華羅庚和И.М.維諾格拉多夫證明瞭當 k＞10， s≥ 2 k ^{2(2lnk+lnk+2.5)}時(**)式成立。由於哈代和李特爾伍德的工作，引向討論 g( k)：使方程(*)對充分大的 n可解的 p（ k）的最小值。這比討論 g( k)更有意義。他們猜測：當 k= 2 ^m≥4時 g( k)= 4 k；在其他情形， g( k)≤ 2 k+1。易證：當 k= 2 ^m≥4時， g( k)≥ 4 k；在其他情形， g( k)≥ k+1。由上述的 r _K _s( n)的漸近公式，當然可相應得到 g( k)的上界估計。通過進一步的討論可證明更好的結果： g( k)≤ k( 3ln k+5.2)。1959年維諾格拉多夫將結果改進為當 k≥170000時， g( k)≤ k( 2ln k+4lnl n k+2lnlnlnk+13)。關於小的 k值，1939年H.達文波特證明瞭 g(4)=16，1942年林尼克證明瞭 g(3)≤7。後來，對 g( k)的估值又得到瞭一些改進。

　　華林問題可以作各種推廣。例如：①華林-哥德巴赫問題，即把方程(*)中的變數x_j限制為素數。華羅庚和維諾格拉多夫有重要貢獻。②多項式華林問題，把方程(*)中的項x忋以f(x_j)代替，這裡f(x)是整值多項式；或更一般地以f_j(x_j)代替，這裡f_j(x)均是整值多項式。例如，取f(x)=x+(m-2)(x²-x)/2，即為多角數問題。關於多項式華林問題有許多研究，華羅庚有重要貢獻。③代數數域上的華林問題，甚至可以討論任意域上的華林問題。在這方面，C.L.西格爾有重要貢獻。