一種代數系統，類似於群、環、域，而更接近於環。結合代數的研究，早在19世紀50年代，W.R.哈密頓考察四元數、H.G.格拉斯曼引入向量乘法以及A.凱萊等人討論矩陣代數之時就已開始，其目標是刻畫各種類型的結合代數的結構和表示。
設A是非空集，F是域。在集A上定義有加法+和乘法··兩個運算，在F和A之間定義有數乘運算，即對於任意α∈F，α∈A有αα∈A，且滿足以下條件：①A關於加法+和乘法·作成結合環；②A關於加法+及數乘運算構成域F上的向量空間；③對任意α∈F，α、b∈A有α(αb)=(αα)b=α(αb)，這種代數系統記作｛A，+，·，數乘｝並稱為域F上結合代數，簡稱F上代數A或代數A。域F上向量空間A的維數也稱為F上代數A的維數。
環的加法群是一個交換群，而代數的加法群是域F上的向量空間，後者較前者的結構要簡單得多。例如，向量空間A必有基｛αi，i∈I｝，而任意α∈A可惟一表成
。於是隻要知道
α
i之間的乘法表：
，便可以計算
A中任二元素
，
的乘積
稱為代數
A的構造常數。反之，通過規定向量空間
A的一組基元之間的乘法，可線性擴張成
A中的一個乘法。人們常利用這種方便定義新代數。
與環相類似，結合代數也有子代數、理想、同態、直積等概念。
例如，代數A的理想B，即指B是向量空間A的子空間，又是環A的理想。與除環和單環相應的概念，是可除代數和單代數等。
仿照由實數來構造復數的方法，可用復數來構造新的數。設Q是一切復數對(α，b)的集合，規定(α，b)=(с，d)當且僅當α=с，b=d，並定義如下的運算：
c，
d是復數с，
d的共軛數，
α是實數。直接驗證可知，
Q是實數域
R上的一個四維結合代數，除瞭乘法交換律之外，
Q的運算具有通常的數運算的所有性質。這是第一個非交換可除代數的例子。
如令
，
，
則它們組成R上代數Q的一個基，而Q關於此基的乘法表是：1是單位元；
。這就是著名的四元數代數。
由於推廣數系而得出四元數代數，隨之產生出實數域與復數域上的結合代數的概念，最初曾稱之為：“超復數系”。實數域上有限維可除代數有三個而且隻能有此三個：實數域、復數域、四元數代數。這就是著名的弗羅貝尼烏斯定理。而韋德伯恩定理則刻畫瞭關於有限域的情形：有限域上有限維可除代數隻能是有限域。
域K上一切n×n矩陣的集合Kn關於矩陣的加法、乘法和數乘運算，作成一個n2維結合代數，而且是單代數。用域F上m維可除代數D去代替域K，就得到D上一切n×n矩陣組成的F上mn2維結合代數Dn。Dn也是單代數。
關於有限維結合代數的韋德伯恩理論，對代數的研究有深遠的影響。這一理論的主要內容是：①任意有限維結合代數A含有一個極大的冪零理想N(所謂N是冪零的，意指存在一個自然數n，使N中任意n個元素之積都是零)，它包含A的一切冪零理想，N稱為A的冪零根，而商代數A/N的冪零根為零，冪零根為零的代數，稱為半單代數；②半單代數是有限個單代數的直和；③F上單代數必具有形式Dn，其中D是F上可除代數，且D和n是惟一的；④任意代數A=N+S（向量空間的直和），其中N是A的冪零根，S是A的半單代數。
Α.И.馬爾采夫證明瞭④中的子代數S在不計內自同構的意義下是惟一的。根據上述韋德伯恩定理，有限維代數的研究，基本上可歸結為對冪零代數與可除代數的研究。實際上這是研究代數的一個模式：對代數引入根的概念，從而可將對任意代數的研究化歸為對兩類特殊代數的研究。結合環的阿廷理論和雅各佈森理論，以及關於非結合代數和環的一些研究都是按照這一模式進行的。
F上單代數A有單位元1，因此可認定F=F·1⊆A。若A的中心(即與A中任意元素都是乘法可換的元素的全體)恰是F，則A稱為F上中心單代數。Fn是F上中心單代數。
張量積在研究單代數時起著重要作用。設A、B是F有單位元的代數。取A在F上的一個基：
，且
;取
B在
F上的一個基：
，且
。以符號集
為基可作
F上一個向量空間，記作
A圱
B。規定
A圱
B的一個乘法：
，則得
F上一個結合代數
A圱
B，稱之為
F上代數
A和
B的張量積。可以證明，代數
A圱
B與
A和
B之基的選擇無關。兩個
F上中心單代數的張量積仍是
F上中心單代數。利用張量積可以定義張量代數，或者外代數、格拉斯曼代數（見
多重線性代數）。
令G表示F上有限維中心單代數的全體。在集合G中引入關系～：A～B當且僅當存在m、n∈Z+使得
。容易證明，這是一個等價關系。令Ā表示
A所在的等價類，
。在集合
G中規定一個乘法：
。可以證明，這個乘法定義是合理的，即與等價類Ā的代表選擇無關，並且
G關於此乘法作成一個群。稱群{
G，·}為域
F上的佈饒爾群，記作
B(
F)。
B(
F)的結構反映瞭中心單代數間的張量積的性質。可以證明
B(
F)是交換周期群。
若A是F上n2維中心單代數，且含有一個子域K，而K是F上n次正規擴域，則A稱為一個交叉積。若K是域F上的循環擴域，則交叉積A特稱為循環代數。交叉積有比較簡單的乘法表，然而它有很好的代表性：B(F)中任一元素(即等價類Ā中)必含有一個交叉積。
佈饒爾-哈塞-諾特－阿爾貝特理論是有限維結合代數中特別重要而完美的理論。它闡明瞭有理數域上的每一個單代數（尤其可除代數）都是其中心F上的循環代數，也就是說，有理數域的有限擴域F上的中心單代數都是循環代數。近年來，S.阿米策等人討論瞭不是交叉積的可除代數。
所謂有限維結合代數的表示，是指代數到域F上矩陣代數Fn內的同態映射。有限維結合代數的表示理論與有限群表示論之間有密切的聯系。設G是一有限群，其元素為g1，g2，…，gn，F是一域，作一個以g1，g2，…，gn為基元的n維向量空間，於是便得到F上一個結合代數，稱之為群代數，並記作F[G]。由結合代數F[G]的一個表示可得群G的一個表示。反之亦然。若域F的特征不能整除群G的元素個數│G│，則F[G]是半單代數。這就是馬施克定理。由前述的韋德伯恩定理可進而得出半單代數的較為完整的表示理論，它可用來刻畫有限群的常表示。若為域F的特征能整除│G│的情況，即有限群的模表示，則要求發展F上非半單代數的表示。弗羅貝尼烏斯代數、擬弗羅貝尼烏斯代數、單列代數以及它們的推廣，是首先研究的非半單代數類，在研究中廣泛使用瞭同調代數工具。近年來，代數的表示論在M.奧斯蘭德、P.加佈裡埃爾、A.V.羅伊特等人手中有很大發展，是很活躍的一個代數分支。
1933年中山正、松島與三證明瞭局部域上單代數的換位子群等於換1元素群。王湘浩在1950年證明瞭上述二群在代數數域情形下仍相等，而且在一般域的情形下當指數無平方因子時也相等。這裡首先提出的在最一般的情形下的問題，這在以後興起的代數K理論和代數群理論中是很重要的。