同倫論

　　代數拓撲學的一個主要組成部分。它研究與連續映射的連續形變有關的各種課題。由於許多幾何問題可以歸結為同倫問題，然後謀求代數拓撲的解決辦法，所以同倫論廣泛地受到註意。

　　同倫的概念，直觀上不難理解，同倫就是連續形變。以“形變收縮”為例，圖

中的半球體 K的邊界包括半球面 H與圓盤 D。設想 K是由可以伸縮的質料構成，很顯然，保持 H上每個點不動，沿垂直於 D的方向擠壓 K，最後可以將半球體 K壓成半球面 H。也就是說， H是 K的“形變收縮核”。這個形變收縮的過程可以描寫得更確切一些。過 K的任意點 x垂直於圓盤 D的直線與半球面 H交於點 。對於0≤ t≤1，令 x _t表示分線段 x 為 t：1－ t之點。不妨認為擠壓是從時刻 t=0開始，到時刻 t=1時完成，而時刻 t時點 x沿著線段 x 到達 x _t的位置。使 x對應於 x _t，定義瞭半球體 K自身的一個連續映射 f _t： K→ K， f _t( x)= x _t。於是， f ₀( x)= x ₀- x。 f ₀為 K自身的恒等映射， f ₁( k)⊂ H，並且 f _t( y)= y。當 y∈ H， f _t就是一個“倫移”，使得 K自身的恒等映射同倫於一個將 K映入子集 H的映射。

　　一般，設f，g：x→Y為拓撲空間x到Y的兩個連續映射。如果有連續映射H：x×I→x，I=[0，1]，使得h(x，0)=f(x)，h(x，1)=g(x)，則稱f同倫於g，記作f≃g。h是從f到g的一個倫移，令h_t(x)=h(x，t)，人們也說連續依賴於參數t的一族映射h_t：X→Y是從f到g的一個倫移。若倫移h_t在x的某個子集A上是靜止的，即h(x，t)=h(x，0)，0≤t≤1，則說f相對於A同倫於g，記作f≃g(relA)前一段舉出的空間H⊂K是空間K的形變收縮核，意思是指存在倫移h：K×I→K，使得對於x∈K有h(x，0)=x，h(x，1)∈H，而h(y，t)=y當y∈H，0≤t≤1。按照同倫關系≃，從x到Y的連續映射分成瞭同倫類。同倫類的集合記作[x，Y]。

　　在同倫論裡，空間按同倫型而分類。若存在連續映射f：x→Y，g：Y→x使得g。f≃

， f。 g≃1 _Y，則稱 x與 Y具有相同的同倫型，則稱 f(或 g)為同倫等價，這裡，1 ： W→ W表示空間 W的恒等自映射。若 A為 x的形變收縮核，則 A與 x有相同的同倫型。反之在不太強的限制之下，空間 x與 Y具有相同同倫型的必要與充分條件是它們可以一同放在一個空間Z裡，使得 x與 Y都是Z的形變收縮核。

　　同倫論的典型問題大體上有下列幾個，以下映射均指連續映射。

　　同倫問題　對於給定的映射f，g：x→Y，如何判斷f與g是否同倫？如果f與常值映射同倫，則稱f為零倫的，記作f≃0。如何判斷給定映射f是否零倫是這個典型問題的特例。

　　同調群提供瞭處理這個問題的工具。對任意整數n≥0，如果f≃g，則

。因此，如果對某一 n， f ≠ g ，則 f與 g一定不同倫。

　　但應註意，即使對所有n，f

= g ， f與 g也未必同倫。H.霍普夫按下述方式作過一個映射 f： S ³→ S ²，他把 S ³看成二維酉空間 C ²中的單位球面，把 S ²看成復射影直線，令 f是從 S ³到 S ²的自然投射，這個 f稱為霍普夫映射，它不零倫但顯然對所有 n＞0， f =0： H _n( S ³)→ H _n( S ²)。此例說明，要研究映射的同倫，除同調群以外，還需要別的工具。

　　擴張問題　設A⊂x，給定映射f：A→Y能否擴張為x到Y的映射，即是否存在映射g：X→Y，使得

。

如果存在這樣的映射 g，則稱 g為 f在 x上的擴張，而 f為 g在 A上的限制，記作 g│ A= f。恒同映射 在 A上的限制 稱為 A到 x的內射。

　　一般說來，f：A→Y不一定能擴張。例如，對n≥1，恒同映射

就不能擴張為 D ⁿ到 S ^{n -1}的映射 g，因為如果這種 g存在，則 ，由此得出

根據一些簡單的計算，可以說明

因而

就不能成立。

　　很多重要的問題可以轉化為映射擴張問題，1912年由L.E.J.佈勞威爾首先提出的佈勞威爾不動點定理就是典型一例。設n≥0，f：Dⁿ→Dⁿ是n維單位實心球體的自映射。則Dⁿ中存在一點x使得f(x)=x。n=0時結論顯然成立。設n＞0，如果對任意x∈Dⁿ，f(x)≠x，則令g(x)是f(x)到x的有向線段的延長線與S^n-1的交點，即得到映射

，使得 。根據前面所述，這不可能。因此 D ⁿ中至少有一點 x使得 f( x)= x。

　　同倫問題實際上是擴張問題的一個特例。設f，g：x→Y是映射，可定義映射G：x×0∪x×1→Y為

則 f與 g是否同倫的問題成為 G能否擴張為映射 F： x× I→ Y的問題。

　　一般地稱同倫映射所共有的性質為同倫性質，對於很多空間偶(x，A)(例如x是單純復形，A是子復形)來說，f：A→Y能否擴張成為x到Y的映射也是一個同倫性質。

　　提升問題　在研究流形上有沒有非零向量場時，需要考慮映射的提升問題，它與擴張問題相對偶。提法如下：設p：x→B與f：Y→B是映射，是否存在映射g：Y→x，使得pg=f：Y→B。如果存在這樣的映射g，則稱g為f關於p的提升。是否存在g的問題就是提升問題。

　　又設p：x→B，耶：Y→x均為映射，f_t：Y→B，0≤t≤1，是倫移，使得p耶=f₀。是否存在倫移

使得 p耶 _t= f _t(0≤ t≤1)，且耶 ₀=耶。如果存在上述耶 _t，則稱耶 _t為 f _t的提升。尋找提升耶 _t，就是同倫提升問題。如果對任意空間 Y及滿足 p耶= f ₀的映射耶與同倫 f _t，總存在上述提升 f _t，則映射 p： X→B稱為具有絕對同倫提升性質，或稱為纖維化。它是纖維叢映射的推廣，任何纖維叢映射都是纖維化。

　　同倫分類問題　對於給定空間x與Y，如何由x與Y的已知的可計算的不變量去計算從x到Y的映射同倫類集合[x，Y]，這是代數拓撲學中經常碰到的問題，特別是同倫群的計算等。

　　如果x與Y滿足一定的條件，則[x，Y]形成一個群。對n≥1及任意道路連通空間Y，W.赫維茨定義瞭π_n(Y)=[Sⁿ，Y]。可以證明π_n(Y)是一個群，而且π₁(x)就是龐加萊所定義的基本群。當n≥2，π_n(Y)是交換群。從而把π_n(Y)稱為空間Y的n維同倫群，它也是同倫不變量。

　　近幾十年代數拓撲學的發展表明，同倫群起著十分重要的作用。和同調群不同的是，對一般單純復形來說，同調群可以計算，但如何計算同倫群卻是一個至今遠未解決的問題，即使對十分簡單的n維球面Sⁿ，當m相當大時，至今仍沒有計算群π_m(Sⁿ)的辦法。因此，同倫群的計算一直是代數拓撲學的重要課題。

　　如果π₁(x)=0，則稱空間x是單連通的。一般地，群π₁(x)通過交換化所得的交換群恰是H₁(x)。此外，赫維茨又研究瞭高維同倫群與同調群的關系。如果

，則π _n( x)自然同構於 H _n( x)， n≥2。反之，若 ，則也有同樣結果。

　　關於球面同倫群的研究概況，首先要提出的是H.弗勒登塔爾的結果，他證明瞭

。

這個結果表明，當 m小於 2 n－2時，π _m( S ⁿ)的構造僅與 m- n有關，這就是球面同倫群的穩定性。

　　50年代初，J.P.塞爾提出瞭研究同倫群的新方法，他利用纖維化的譜序列，取得瞭球面同倫群計算的突破性進展。

　　關於

到 S ⁿ的映射α，H.霍普夫引進瞭一個霍普夫不變量，前面提到的霍普夫映射 S ³→ S ²的霍普夫不變量為1。J.F.亞當斯在20世紀50年代末利用斯廷羅德運算提出瞭一個新的譜序列(以後稱為亞當斯譜序列)，利用這個譜序列，他證明瞭隻有當 n=2，4，8時，才存在霍普夫不變量為1的映射。1960年以後，利用亞當斯譜序列，同倫群的研究又取得瞭重要的進展。不但π _m( S ⁿ)的計算有瞭很大的改進，而且，若幹別的重要空間的同倫群計算也取得瞭不少成果。例如，某些托姆空間的同倫群（如協邊群）也可以完全計算出來，這對於研究微分流形的分類具有重要意義。

　　擴張問題與同倫分類問題之間存在一定關系。這方面，S.艾倫伯格首先定義瞭阻礙上鏈與阻礙上同調類的概念。設K是任意單連通的單純復形，n是正整數，K

表示 K中所有維數不大於 n的單形組成的子復形（稱為 K的 n維骨架）。設 f： K → Y為任給映射， σ 為 K上任意 n+1維單形。則 σ 的邊界 ∂ σ 可以看成一個 n維球面，因此， 代表 π _n( Y)的一個元素，記作 。然後定義上鏈

為

，

＜ C( f)， σ ＞表示上鏈 C( f)在 σ 上的值。不難證明：① f可擴張為 K ^{( )}到 Y的映射⇔ C( f)=0；② δ C( f)=0。因此就稱 C( f)為 f的阻礙上鏈，而稱[ C( f)]∈ H ( K;π _n( Y))為 f的阻礙上同調類。阻礙類為0，標志著 f｜ K ^{( n -1)}可以擴張到 K ^{( )}上。

　　若π為群，n為正整數，當n＞1時，還假定π為交換群。如果道路連通空間Y滿足條件

則 Y稱為艾倫伯格-麥克萊恩空間，記作 K(π， n)。可以證明，對同一個π和同一個 n， K(π， n)的倫型在一些不強的限制下是惟一的。利用上述阻礙上同調類可以證明：對任意交換群π及單純復形 。

　　普通同調群滿足七個公理，滿足維數公理（m＞dimX時，H_m(x)＝0）以外的六個公理的函子稱為廣義同調論。現在已經出現瞭許多有意義的廣義同調論。例如，對研究向量叢有重要意義的K-同調論K^*；對研究微分流形有重要意義的協邊同調群MU^*；對研究球面同倫群有重要意義的BP同調群BP^*。E.佈朗在20世紀60年代初就已經證明，隻要廣義上同調函子還滿足一定的條件，則這個廣義上同調群就自然同構於空間到一個固定空間（或空間譜）的所有映射同倫類所成的群。例如K^*(x)=[x，BU]，MU(x)=[x，MU]，其中BU表示U群的分類空間；MU表示BU的托姆空間。上面的結果說明同調論的問題又可以轉化為同倫論的問題。代數拓撲學的這兩個主要分支就統一起來瞭。

　　倫型問題　M.M.波斯尼科夫利用阻礙上同調類引進瞭一組能確定許多空間倫型的同倫不變量。設x為一個單連通胞腔復形，對任意正整數n;可以作胞腔復形x_n與映射f_n：x→x_n，使得：①

，當 m≤ n。② ，事實上，可以取 x _n為 加上一些維數大於等於 n+2的胞腔使得所有維數大於等於 n+1的同倫群等於零所得的空間。因此，不妨假定

，映射 的阻礙上同調類 稱為 x的波斯尼科夫不變量。波斯尼科夫證明瞭： x的所有同倫群與所有波斯特尼科夫不變量能夠確定 x的倫型。應當指出，波斯尼科夫不變量的計算是以同倫群為基礎的更為復雜的問題。

　　

參考書目

　廖山濤、劉旺金著：《同倫論基礎》，北京大學出版社，北京，1980。

　E.H.Spanier，Algebraic Topology，McGraw-Hill，New York，1966.

　R.M.Switzer，Algebraic Topology-Homotopy and Homology，Springer-Verlag，New York，1975.

　G.W.Whitehead，Elements of Homotopy Theory，Graduate Texts in Mathematics，Vol.61，Springer-Verlag，New York，1978.