n維歐幾裏得空間的推廣，可視為“無限維的歐幾裏得空間”，是泛函分析的重要研究物件之一。在三維歐幾裏得空間中，任何兩個向量之間規定瞭一個內積，它是建立三維歐幾裏得幾何學的基礎。有瞭內積，就有向量的長度、兩個向量的交角和向量到直線或平面上的投影等等。這些普通而重要的幾何概念及相應的研究方法，不僅被推廣到n維空間，而且在許多不同的領域，例如積分方程、數學物理、三角級數或更一般的正交級級數等理論中，被推廣到由函數構成的無限維空間上去，成為研究有關問題的有力工具。第一個具體的希爾伯特空間最早是由D.希爾伯特在研究積分方程時首先提出的。他在平方可和的無窮實數列{xn}全體所組成的空間l2中規定瞭內積
，把空間
l
2看作歐幾裡得空間向無限維的推廣，從而有效地解決瞭一類積分方程求解及其本征展開的問題。不久，人們就建立瞭一般的希爾伯特空間理論，到20世紀30年代已取得瞭豐富的成果。希爾伯特空間在分析數學的各個領域中有著深厚的根基，也是描述量子物理的基本工具之一，它已經被廣泛地應用於數學和物理的各個分支，如積分方程、微分方程、隨機過程、函數論、調和分析、數學物理及量子物理學等等。關於希爾伯特空間及其上的算子理論仍然是泛函分析的重要課題之一。
內積空間和希爾伯特空間 設H是實數或復數域C上的線性空間，如果對於H中任何兩個向量x和y都對應著一個數(x，y)∈C，並且滿足下列條件：①正定性，對一切x∈H，(x，x)≥0，而且(x，x)＝0當且僅當x＝0；②線性，對x，y，z∈H和α，β∈C，成立(αx+βy，z)=α(x，z)+β(y，z)；③共軛對稱性，對x，y∈H成立
，這裡ā表示α的共軛復數；則稱(
x，
y)為
H中
x，
y的一個內積。定義瞭內積的空間
H稱為內積空間。在內積空間
H中定義函數
為
x的范數(‖
x‖即
x的“長度”)，這時，
H成為一個賦范空間。如果作為賦范空間，
H是完備的（見
巴拿赫空間），就稱
H為希爾伯特空間。作為希爾伯特空間的例子，除瞭歐幾裡得空間和
l
2空間以外，還有勒貝格平方可積函數空間
L
2[
α，
b]（其中內積規定為
，而
α，
b)也可為無限大）。在數學物理中越來越多地使用各種類型的希爾伯特空間。
平行四邊形公式和施瓦茲不等式 在內積空間中，由內積導出的范數必滿足類似於平面幾何學中的平行四邊形公式，即對H中任何x、y，
；
反之，一個賦范線性空間
H，若它的范數滿足上述平行四邊形公式，則這個范數必是由定義在
H上的某個內積導出的范數。
內積還有重要的施瓦茲不等式：
。
正交與勾股定理 在希爾伯特空間H中，如果x，y滿足(x，y)=0，就稱x和y正交（或直交），記為x⊥y。當x⊥y時，成立勾股定理：
。如果
x和
H的子集
M中任何元都正交，就稱
x和
M正交，記為
x⊥
M。與
M正交的所有元素的集合記為
M
⊥。
投影定理 希爾伯特空間理論中的一個基本定理。設M是希爾伯特空間H的凸閉子集，則對H中每個向量x，必存在M中惟一的y，使得
。這個性質稱為變分定理。特別，當
M是
H的閉線性子空間時，
z＝
x-
y必與
M正交，即對於閉線性子空間
M，分解
x=
y+
z不僅惟一，而且
z⊥
y。這就是投影定理。其中，
y稱為
x在
M中的投影（分量）。因為
x在
M上的投影
y是達到極值
的惟一解，所以這個結果不僅在理論研究中，而且在很多應用性科學，如近似理論(包括有限元方法)、預測理論、最優化等多方面均有著廣泛的應用。
正交系 設{ek}是內積空間H中一族彼此不同的向量，如果其中任何兩個向量都正交，即當k≠j時，(ek，ej)=0，則稱{ek}是一正交系;如果其中每個向量的范數又都是1，即對一切k，(ek，ek)＝1，則稱{ek}是就范正交系。對於希爾伯特空間H的就范正交系{ek}，如果包含{ek}的最小閉子空間就是H，就稱{ek}為H的完備就范正交系。設{ek}是就范正交系，則H中任一向量x在ek方向的投影，即x在{ek}生成的一維子空間上的投影，就是(x，ek)ek；而x在{ek}生成的閉子空間M上的投影就是
。顯然有
，即向量
x在某個子空間
M上的分量“長度”永不超過
x的長度，它稱為貝塞爾不等式。如果{
e
k}是完備就范正交系，那麼成立著
（傅裡葉展式），
（帕舍伐爾等式）。
傅裡葉展開是古典分析中傅裡葉級數或一般正交級數展開的推廣。
泛函表示定理 希爾伯特空間H上每個連續線性泛函F，對應於惟一的y∈H，使F(x)=(x，y)，並且
，這就是裡斯的連續線性泛函表示定理。因此，希爾伯特空間的共軛空間與自身（保持范數不變地）同構（實際上是一種共軛線性同構），即
H＝
H
*。這個結果在希爾伯特空間算子理論中具有很重要的作用。