關於未知量是一次的方程組，其一般形式為
(1)
式中
x
1，
x
2，…，
x
n代表未知量，
α
ij(1≤
i≤
m，1≤
j≤
n)稱為方程(1)的系數，
b
i(1≤
i≤
m)稱為常數項。系數和常數項都是任意的復數或某一個域的元素。
當常數項b1，b2，…，bn都等於零時，則方程組(1)稱為齊次線性方程組。
方程組(1)的系數所構成的m行n列矩陣
稱為方程組(1)的系數矩陣。在
A中添加由常數項組成的列而得到一個
m行
n+1列矩陣
稱為方程組(1)的增廣矩陣。
如果在方程組(1)中，以一組復數或域F的元素с1，с2，…，сn代替未知量x1，x2，…，xn，每一個方程的兩端相等，那麼с1，с2，…，сn稱為方程組(1)的一個解。
關於線性方程組，有以下主要結果。
①線性方程組(1)有解的充分必要條件是，系數矩陣A與增廣矩陣Ā有相同的秩。
②在A與Ā有相同的秩r＞0的情形下，A有一個r階子式D不等於零，設
於是方程組(1)與僅含有前
r個方程的方程組同解。可將前
r個方程改寫為
(2)
方程組(2)的一般解公式為
x1=D1/D，x2=D2/D，…，xr=Dr/D， (3)
式中 D j( j=1，2，…， r)是把 D的第 j列換成方程組(2)的右端的列所得到的一個 r階行列式，即
因而
x
1，
x
2，…，
x
r可由其餘的未知量
x
r
+1，
x
r
+2，…，
x
n線性表出，
x
r
+1，
x
r
+2，…，
x
n稱為自由未知量。
當r＜n時，則任意給自由未知量的一組值，由(3)可求出x1，x2，…，xr的值即方程組(1)的一個解，此時方程組(1)的解不隻一個。當r=n時，則方程組(2)不含自由未知量，由(3)給出方程組(1)的惟一解。當m=n=r時，公式(3)稱為克萊姆規則。
線性方程組是最簡單也是最重要的一類代數方程組。大量的科學技術問題，最終往往歸結為解線性方程組，因此線性方程組的數值解法在計算數學中占有重要地位。