具有仿射代數簇結構的群。它是抽象群論與代數幾何相結合的產物。

　　設G是代數閉域K上的代數簇，如果G還具有群的結構，並且群的乘積運算G×G→G與求逆元運算G>→G都是代數簇的態射，那麼G稱為K上的代數群。如果G是仿射簇，那麼G稱為仿射代數群或線性代數群；如果G是不可約的完備簇，那麼G稱為阿貝爾簇。雖然代數群的定義與拓撲群的定義十分相似，但是代數簇的積不是拓撲積而是紮裡斯基積，所以一般地說，代數群不是拓撲群。

　　代數群的同態是兼為群的同態與代數簇的態射的一個映射；同構概念由此自然得出。易知，代數群的閉子群也是代數群。代數群的同態像是閉的，所以也是代數群。代數群關於它的正規閉子群的商群也是代數群。對任意代數群G，總可以惟一找到一個正規的仿射子群N，使G/N是阿貝爾簇。因此，代數群的研究主要是線性代數群與阿貝爾簇的研究。阿貝爾簇的研究屬於代數幾何范疇，阿貝爾簇的群結構很簡單（都是阿貝爾群），而且被簇結構惟一確定（簇同構的兩個阿貝爾簇一定同構）。線性代數群的研究則更多是按代數學觀點進行，而成為與李群理論相平行的一個獨立學科。

　　線性代數群理論的萌牙，可以追溯到19世紀末葉。當時L.毛瑞爾與(C.-)É.皮卡實際上已經研究瞭復數域上的線性代數群；皮卡把這些群用到線性微分方程的伽羅瓦理論中去。但是，在此後的半個世紀中，他們的這一工作並未引起人們的註意，而É.(-J.)嘉當與（C.H.）H.外爾在這期間對李群與李代數進行瞭深入的研究，所獲成果促進瞭線性代數群理論的正式出現。20世紀40年代，C.謝瓦萊與段學復用李代數的方法，討論瞭特征為零的任意域上的線性代數群，這是線性代數群理論誕生的前奏。1955年前後，線性代數群的一般理論終於由A.博雷爾與謝瓦萊等人提出來瞭。而後經博雷爾、R.施坦伯格和J.蒂茨等人的進一步發展，形成瞭一個較完美的數學體系，並對基礎數學的許多領域諸如半單李群及其算術子群、典型群、有限單群、不變量理論等的發展起瞭重要的作用。

　　K的加法群Gα；K的乘法群Gm；K上所有n×n的非奇異矩陣在矩陣乘法上所成的群GL(n，K)，即所謂K上的n次一般線性群；GL(n，K)中由行列式為1的矩陣組成的子群SL(n，K)，即所謂K上的n次特殊線性群；GL(n，K)的其他閉子群等等都是線性代數群的例子，而且它們已具有相當的普遍性。任一線性代數群必同構於某個一般線性群的某個閉子群，這就是“線性代數群”這個術語的由來。以下均用G代表一個線性代數群。

　　把G嵌入為GL(n，K)的閉子群後，每個x∈G可以在GL(n，K)中進行若爾當分解：在GL(n，K)中有惟一的一對元素s與u，使得：①s為半單元(即可對角化的元素)，u為冪么元（即所有特征根都是1的元素）；②su=x=us。可以證明s與u都在G中，而且G的元素的這種分解與G到GL(n，K)的嵌入無關。於是，在G中就定義瞭半單元、冪么元與若爾當分解的概念。

　　僅由半單元組成的連通、交換的線性代數群稱為環面；僅由冪么元素組成的線性代數群稱為冪么群。環面與冪么群都是可解的，甚至是冪零的。更一般地說，任何連通可解線性代數群B總可寫成它的一個極大環面子群與它的極大冪么子群的半直積，其中極大冪么子群含有B的所有冪么元，從而是正規的;當且僅當這個半直積是直積時，B是冪零群。

　　G的極大連通可解子群稱為G的博雷爾子群。G的所有博雷爾子群（對應地，極大環面子群、極大連通冪么子群）都在G中共軛；如果G是連通的，那麼G的任一元素(對應地，半單元、冪么元)一定在某個博雷爾子群（對應地，極大環面子群、極大連通冪么子群）中。此外，G的環面子群的正規化子對中心化子的指數是有限的。

　　G有惟一的最大正規連通可解子群R(G)，它稱為G的根基；G還有惟一的最大正規連通冪么子群Ru(G)，它稱為G的冪么根基。顯然，Ru(G)由R(G)中所有冪么元組成。

　　如果Ru(G)是平凡的，就稱G為簡約線性代數群；如果G是連通的，且R(G)是平凡的，就稱G為半單線性代數群。例如，GL(n，K)是簡約的，而SL(n，K)是半單的。因為對任意連通線性代數群來說，G/R(G)總是半單的，R(G)的結構又比較簡單，所以線性代數群理論的中心問題之一，是半單群的結構與分類。為敘述這方面的結果，首先介紹G的李代數與根系，並在以下假定G是連通的。

　　設K[G]為簇G到K的正則函數組成的K代數，則G以兩種方式自然地作用在K[G]上：對所有x、y∈G，f∈K[G]，定義(λxf)(y)=f(x-1y)，(ρxf)(y)=f(yx)。這兩種作用分別稱為左平移與右平移。

　　K線性映射x：K[G]→K[G]如果滿足

　x(fg)=x(f)g+fx(g)，

就稱為 K[ G]的 K導子;如果 x還與所有的 λ x( x∈ G)可換，就稱 x為 K[ G]的左不變 K導子。如果 x、 Y都是左不變 K導子，那麼它們的任意 K線性組合以及它們的換位子[ x， Y]= x。 Y- Y。 x仍是左不變 K導子。所以 K[ G]的左不變 K導子全體組成 K上的一個李代數g，它稱為 G的李代數。作為向量空間，g可以等同於 G在恒等元處查裡斯基切空間。

　　如果x∈g，x∈G，那麼

於是得到 G在g上的伴隨表示 A d： G→ G L(g)。特別，把 G嵌入為 G L( n， K)的閉子群後，g是 g L( n， K)（由 K上所有 n× n矩陣組成的李代數）的子代數。此時， G在g上的伴隨作用就是矩陣的共軛。

　　固定G的一個極大環面子群T，令H(T)為T到Gm的代數群同態全體，則H(T)是K[T]的單位元乘法群的子群。但是改用加法來記H(T)的群運算，並把它的元素稱為T的特征標。設G是連通簡約群，α是T的非零特征標，並且有非零向量x∈g，使得對所有t∈T都有Ad(t)x=α(t)x，則稱α為G關於T的根。G關於T的根的全體φ=φ(G，T)滿足抽象根系的所有公理，它稱為G關於T的根系。它的外爾群同構於T的正規化子對中心化子(=T)的商群W=W(G，T)。由於從不同的極大環面得出的根系是同構的，有時就把φ簡稱為G的根系，把W簡稱為G的外爾群。

　　如果B是含T的博雪爾子群，那麼W可以作為G關於(B，B)的雙陪集分解的代表元系，即

，且是不相交的並。 G的這個雙陪集分解稱為佈魯哈特分解。特別，由 W中最長的元素 w 0所代表的雙陪集 B w 0 B是 G的稠密開集，稱為 G的大胞腔。

　　如果G是半單的，那麼H(T)含在φ生成的歐氏空間中，而且是Ф的根格Hr與權格Hw之間的一個格。半單線性代數群的分類定理斷言：K上的半單線性代數群的同構類與二元組(φ，H)的同構類一一對應，這裡φ是一個抽象根系，H是Hr與Hw之間的任意一個格。更確切地說，給定這樣一個二元組，必有惟一的(在同構意義下)K上的半單線性代數群G(φ，H)，使得G的根系同構於φ，在此同構下，G的極大環面的特征標群就是H。此外，若H1⊆H2，則有典范的代數群滿同態

。因此， G( φ， H w)覆蓋瞭 K上所有具有根系 φ的半單線性代數群，這個群稱為普遍型的或單連通的； G( φ， H r)被 K上所有具有根系 φ的半單線性代數群覆蓋，這個群稱為伴隨型的。

　　如果φ　是不可約根系，那麼G(φ，H)稱為殆單群。這是由於G(φ，H)的任一正規真子群都是有限的與中心的之故。特別，G(φ，Hr)是一個單群。由根系的分類定理知，殆單群有Al，Bl，Cl，Dl四個無限系列和E6，E7，E8，F4，G2五個例外類型。例如，SL(n，K)就是An-1型的單連通群。當φ可約時，φ的每一個不可約分支φi對應G＝G(φ，H)的一個殆單正規子群Gi，所有這些Gi的直積到G的典范同態是滿的，它的核是有限的與中心的。這些Gi稱為G的殆單分支。如果殆單群不是例外類型的群，就稱為典型群。

　　當K=C是復數域時，G(φ，H)在普通復拓撲下是個具有根系φ的復半單李群。所以線性代數群理論可以看作李群理論的一個推廣。

　　線性代數群理論還與有限單群的理論有密切聯系。設K是具有素特征p的域，Fq是q=pr個元素的有限域。如果K上的線性代數群G具有Fq結構，即K[G]可以寫成一個Fq子代數Fq[G]與K的張量積，而且由G的乘積運算與求逆元運算導出的K代數同態

與 可以限制為 F q代數同態 與 F q[ G]→ F q[ G]，那麼，把 F q[ G]的每個元素 q次方得到的 K代數同態 K[ G]→ K[ G]導出一個代數群同態 F： G→ G，它稱為 G的弗羅貝尼烏斯同態，其不動點 G F就是一個有限群。當 G是半單群時， G F稱為有限謝瓦萊群或有限李型群。特別，當 G是單群時，除極少數例外， G F都是有限單群。這類有限單群稱為李型單群。從有限單群的分類定理知，除素數階循環群與交錯群外，所有含在某個無限序列中的單群都是李型單群。例如，把 S L( n， K)中的矩陣的每個元素 q次方，便得到 S L（ n， K）的一個弗羅貝尼烏斯同態，其不動點子群為 F q上的 n次特殊線性群 S L( n， q)；同樣的弗羅貝尼烏斯同態作用在 A n-1型伴隨群 p S L( n， K)上，得到的不動點子群便是李型單群 p S L( n， q)。又如，由 （T表示轉置）定義的 S L( n， K)的弗羅貝尼烏斯同態的不動點子群則是酉群 SU( n， q 2)。

　　

參考書目

　A.Borel，Lineαr Algebrαic Groups，Benjamin，New York，1969.J.E.Humphreys，Lineαr Algebrαic Grαups，Grαduαte Text in Mathematics21，Springer-Verlag，Berlin，1975.