函數值分佈論

　　複變函數論中歷史悠久、理論完美的一個分支。

　　初等代數的一個基本問題是求多項式的零點。然而一些理論和實際問題還要求研究較為廣泛的函數類──整函數和亞純函數的取值情況，這便是函數值分佈論的主要研究內容。

　　1879年法國著名數學傢(C.-)É.皮卡借助於模函數證明瞭：若f(z)為一整函數，且不蛻化為常數，則對於任任意復數α（值∞包括在內），方程f(z)=α都有根，至多除去兩個例外值。皮卡定理是函數論中一個十分深刻的結果，它奠定瞭值分佈論的基礎。以後М.拉蓋爾、（J.-）H.龐加萊等曾經繼續從事研究。J.（-S.）阿達馬建立瞭整函數與亞純函數的分解定理，並且將其應用於ζ函數的零點的研究。

　　1896年(F.-É.-J.-) É.波萊爾正式引入整函數的級的概念，把皮卡定理大大推進瞭一步。他證明瞭：若f(z)為一整函數，其級ρ是有窮正數，則對於任意復數α有

，

至多除去兩個例外值。這裡 n( r， f= α)表示｜ z｜≤ r上 f( z)= α的根的個數，且 k重根計算 k次。波萊爾定理的證明基於函數的增長性，是純分析的，對以後值分佈論的發展有很大影響，皮卡和波萊爾定理可被推廣到亞純函數的情況。

　　20世紀初，有很多學者從事值分佈論的研究，其中應特別提到E.L.林德勒夫、L.O.佈盧門塔爾、A.當儒瓦、A.威曼、G.瓦利隆、J.E.李特爾伍德等。還有很多研究工作與值分佈論密切相關，諸如延森公式，蘭道定理，朔特基定理，關於漸近值的著名的當儒瓦猜測（後來為L.V.阿爾福斯證實），應用廣泛的菲拉格芒－林德勒夫原理，蒙泰爾關於正規族的理論以及F.艾弗森關於反函數的研究等。

　　1919年G.朱利亞應用蒙泰爾的正規定則證明瞭：若f(z)為超越整函數，則至少存在一條從原點發出的半直線J：argz=θ₀(0≤θ₀＜2π)，使得對於任意正數ε與所有復數α在角域｜argz-θ₀｜＜ε內f(z)=α都有根，至多可能除去兩個例外值。這樣的方向稱為f(z)的朱利亞方向。朱利亞定理開創瞭在一射線附近函數取值情況的研究，這類研究稱為輻角分佈論；而在整個平面上函數取值的研究，則稱為模分佈論。1924年H.米洛證明瞭所謂充滿圓的存在，把朱利亞定理向前推進瞭一步。

　　1925年，芬蘭數學傢R.奈望林納把亞純函數作為主要研究對象，建立瞭兩個基本定理。他的研究使值分佈論呈現瞭嶄新的面貌，開始瞭值分佈的近代理論（也常常稱為奈望林納理論）。這是對20世紀數學發展的一個重大貢獻。對於亞純函數f(z)和任意復數α，除去量n(r，f=α)外，還可考慮其積分平均值

奈望林納引入特征函數 T( r， f)= m( r， f)+ N( r， f=∞)，式中 而

。這時 f( z)的級被定義為

他進一步定義

。

當 δ( α， f)>0時，則稱 α為 f( z)的虧值， δ( α， f)為其虧量。奈望林納理論的主要結果是：對於超越亞純函數 f（ z），其虧值至多是可數的，並且相應的虧量總和不超過2，即 δ( α， f)≤2。這個式子稱為虧量關系。

　　應用奈望林納理論，瓦利隆於1928年將朱利亞方向和充滿圓作瞭重大發展，證明瞭波萊爾方向的存在性。若f(z)為ρ(0＜ρ＜∞)級亞純函數，則至少存在一條從原點出發的半直線B：argz＝θ₀(0≤θ₀＜2π)，使得對於任意正數ε與所有復數α有

至多除去關於 α的兩個例外值。在這裡 n( r， θ ₀，ε， f= α)表示域(｜ z｜≤ r)∩(｜arg z- θ ₀｜≤ε)上 f( z)＝ α的根的個數。

　　這一階段有很多傑出的學者從事值分佈論的研究。除去奈望林納兄弟、瓦利隆、米洛，還有阿爾福斯、A.佈洛赫、H.嘉當、M.L.卡特賴特、O.泰希米勒等。值分佈論關於例外值的研究實質上等價於函數的黎曼曲面的分支性質的研究。隨著值分佈論的發展，就對黎曼曲面的研究提出瞭一系列問題。這方面奈望林納兄弟和阿爾福斯等學者做瞭不少工作。

　　在第二次世界大戰期間以及戰後的幾年裡，函數值分佈論的研究較為沉寂。但是從50年代中期以來，這方面的優秀工作又屢有出現。其中A.埃德雷與W.H.I.富克斯、A.A.戈爾德貝格關於亞純函數的虧值與虧量的一系列研究，W.K.海曼關於亞純函數結合於其導數的一個基本不等式，D.德拉辛關於奈望林納理論的反問題的徹底解決以及奈望林納猜想的徹底解決，A.韋茨曼證明瞭有窮級亞純函數的每個虧量的立方根仍然構成收斂級數等則是其中傑出的代表。1973年，A.伯恩斯坦基於值分佈論與傅裡葉分析，引進瞭T^*函數，並用以證明瞭所謂展佈關系。以後，T^*函數在單葉函數、整函數的最小模等方面也取得瞭應用。

　　函數值分佈論還被推廣到代數體函數（G.雷蒙多斯、瓦利隆、H.塞爾伯格、E.烏裡希），亞純曲線（H.外爾、J.韋爾、阿爾福斯、伍鴻熙）以及多復變函數（陳省身、R.博特、P.格裡菲思、W.斯托爾）。圍繞著推廣奈望林納的兩個基本定理與虧量關系，每個方面都有不少研究工作。

　　在熊慶來的倡導下，莊圻泰、楊樂、張廣厚等從事值分佈論的研究，取得瞭顯著的成果。具有代表性的研究工作有關於無窮級亞純函數值分佈的研究，奈望林納第二基本定理的推廣與虧函數，亞純函數虧值數目與波萊爾方向數目的關系，波萊爾方向的分佈規律，關於漸近值的研究，亞純函數的輻角分佈等。

　　

參考書目

　楊樂著：《值分佈論及其新研究》，科學出版社，北京，1982。

　R.Nevanlinna，Analytic Functions.Springer-Verlag，Berlin，1970.

　W.K.Hayman，Meromorphic Functions，Oxford Math.Monographs，Oxford Univ.Press，London，1964.