函數構造論中的主要研究課題，是由逼近論中正定理和逆定理兩部分構成。所謂正定理就是從函數的結構性質（連續性、李普希茨條件、可微性等）來導出用n次多項式(或其他函數系)逼近函數時，其最佳逼近值（又稱最佳逼近度）趨向於零的速度估計；所謂逆定理就是用n次多項式（或其他函數系）逼近函數時，從其最佳逼近值趨向於零的速度估計式來導出函數本身的結構性質。因此，研究函數的結構性質就可以化歸為研究究用多項式（或其他函數系）逼近時，其最佳逼近值趨向於零的速度。
設g(x)是以2π為周期的實軸上的連續函數，則用n次三角多項式逼近時的最佳逼近值En*(g)定義為：
。
其中下確界是對於所有次數不超過
n的三角多項式
T
n(
x)取的。設
f(
x)是區間[
α，
b]上的連續函數，則用
n次多項式逼近時的最佳逼近值
E
n(
f)定義為：
，
其中下確界是相對於所有次數不超過
n的多項式
P
n(
x)取的。
有關正定理的最早結果是由D.傑克森獲得的。他得到
，
式中
稱為
g(
x)的連續模。事實上，
2
n-2次三角多項式
稱為傑克森算子，滿足
。
若
（
p是自然數），則
。
設f(x)在[α，b]上有p階連續導數，則對任意n＞p，有
，
這裡с
p為隻依賴於
p的常數，且在定義連續模時要限制
x
1與
x
2都位於[
α，
b]上。
此外，還可以用k階連續模
來估計
E
n
*(
g)，相應地也可估計
E
n(
f)。
對於逆定理，最早的結果是由С.Η.伯恩斯坦獲得的。對於g∈C2π，若對任意n，滿足
（с為常數），
式中
p為非負整數，0＜
α≤1，則可推出
，且
但是對於定義在區間[
α，
b]上的函數
f，由
隻能推出上述結果在(
α，
b)中的任意閉區間上成立。這是因為在證明中用到多項式的微商可以被多項式本身最大值來進行估計的伯恩斯坦不等式，而這對於三角多項式
T
n(
x)與代數多項式
P
n(
x)是不同的，即
，
。
實際上，用代數多項式進行逼近時，其正定理應該依賴於點
x的分佈：在區間[
α，
b]的兩個端點處，逼近的階比內部要高。
後來，Α.Ф.季曼得到改進的定理如下：
設f
(
x)在[-1，1]上連續，則對任意
n，存在
n次多項式
P
n(
x)，使
式中с
p是隻依賴於
p的常數。
由此看出，在區間的兩個端點處，逼近階為
，而在區間內部逼近階為
。至於逆定理，若對於任意的
n，存在
n次多項式
Q
n(
x)，使得
式中с
q
′是隻依賴於
p的常數，ω(δ是某個連續函數的連續模，則可推出
f
(
x)在[-1，1]上連續，且其連續模滿足
，
式中с
是隻依賴於
p的常數。
此外，對於
逼近時也有類似的估計式。
從復數域的觀點來看，正定理中逼近的階是依賴於區間[α，b]上點的外角；在[α，b]的兩個端點，外角為2π，因此逼近階為
，在(
α，
b)內的點，外角為
π，因此逼近階為
。用這樣的觀點可以將實軸區間上的逼近推廣到復平面區域上去，這時逼近的階也依賴於點在區域邊界上的分佈，逼近的精度依賴於點在邊界上外角的大小。