描述函數的一種連綿不斷變化的狀態，即引數的微小變動隻會引起函數值的微小變動的情況。確切說來，函數在某點連續是指：當引數趨於該點時，函數值的極限與函數在該點所取的值一致。
一元連續函數 設函數f(x)在x＝α附近（包括xx=α處）有定義。若
，
(*)亦即：對任給ε>0，必有
δ＞0存在，使當｜
x-
x
0｜＜
δ時，恒有｜
f(
x)-
f(
α)｜＜ε，則稱
f(
x)在
x＝
α處連續，
α為
f(
x)的連續點。
如在(*)中，x→α改為x→α-0或x→α+0，即限定x＜α或x＞α，則稱f(x)在x=α處左連續或右連續。顯然f(x)在x=α處連續的必要充分條件為它在α處左、右都連續。
如
存在，但
A≠
f(
α)或
f(
α)沒有意義，則稱
f(
x)在
α處為可去間斷（可去不連續），因為這時隻要改變或補充定義
f(
α)使其等於
A就可使它變得在
α處連續；因此，這種不連續常常算作是連續的。如果
x→
α時，則稱
f(
x)在
α處有第一類間斷，
B-
A稱為其躍度。不屬於上述情況的不連續點都稱為第二類間斷。
如果f(x)在一開區間(α，b)內每一點都連續，則稱f(x)在開區間(α，b)內連續。f(x)在一閉區間[α，b]上連續是指：在開區間(α，b)內連續，而在α處右連續和b處左連續。
由此可確切定義幾何名詞連續曲線。設平面曲線C可寫成參數方程
x=x(t)，y=y(t) (α≤t≤β)，
其中 x( t)、 y( t)都是[ α， β]上的連續函數，則稱 C是連續曲線。此定義顯然可推廣到空間曲線甚至一般的 n維空間中的曲線上去。連續函數的性質
① 如f(x)、g(x)都在x=α處連續，則f(x)±g(x)，f(x)g(x)，
（隻要
g(
α)≠0)也在
x=
α處連續。
② 如f(x)在x=α處連續，且f(α)≠0，則必在x＝α的某一小δ鄰域（即|x-α|＜δ）中，f(x)不變號，即f(x)與f(α)同號。
③ 在閉區間上的連續函數，必有上界和下界，且有最大值和最小值，並能取最小值和最大值之間的一切中間值。
還可證明，所有初等函數在其有定義的區間上都是連續的。
設I為一閉或開的區間，如果任給ε>0，必有δ＞0存在，使對I中任何兩點x，x′，隻要|x-x′|＜δ，便有｜f(x)-f(x′)|＜ε，則稱f(x)在I上一致連續。關於一致連續性有下面的重要定理：在閉區間上的連續函數一定在該區間上一致連續。這一定理有時稱作康托爾定理。
多元連續函數 設
為一
n元函數，這裡
x=(
x
1，
x
2，…，
x
n)為
n維向量或
n維空間中一點，而
α=(
α
1，
α
2，…，
α
n)為一定點。如果(1)式成立，亦即對任給ε>0，必有
δ＞0存在，使當
或者
時，恒有
｜f(x)-f(α)｜＜ε
，則稱 f( x)在 α處連續。也可類似地定義 f( x)在 n維區域 G中連續和一致連續。不過，當 α是 f( x)定義域 G邊界上的一點時，在上面定義中要限制 x在 G及其邊界上。一元連續函數的上述性質都可推廣到多元函數上來，康托爾定理這時也成立，不過在其中區間I要換成有界閉區域。和連續曲線類似，也可定義連續曲面等等。
以上連續函數的定義也可推廣到復變量的復函數上來（見復變函數）。
連續函數的定義還可推廣到一般抽象的拓撲空間的情況。設X，Y是兩個拓撲空間，f：X→Y是把X映入Y的一個映射，又α∈X，如果對於f(α∈Y的任一鄰域
，存在著
α的一鄰域
U
α，使
，
則稱
f在
α點連續。如果
f在
X中的每一點都連續，則稱
f為
X到
Y的一連續映射。