函數空間

　　從集合Ω到數域A（可取為實數域R或複數域C）的一類映射所成的集合（即函數作為點所成集合），並在此集合上賦有一定幾何結構。經典分析學處理問題往往泛言或零散地看待所考慮的函數。雖有時取符合於某種規定的函數類X，但沒有明確地把X當作幾何的的對象。現代分析學的一般方法在於視Ω為拓撲空間或測度空間又以問題的需要規定類中映射（即函數）：Ω→A滿足的條件，諸如連續性、有界性、可測性、可微性、可積性等；從幾何學、拓撲學及代數學的角度，對X一方面賦與關於加法與數量乘法的封閉性，這裡加法為：f∈X，g∈X→f+g∈X，(f+g)(x)=f(x)+g(x)，∀x∈Ω；數量乘法為：f∈X，λ∈A→λf∈X，(λf)(x)=λf(x)，∀x∈Ω（即X對通常函數的線性運算封閉）；另一方面使之成為拓撲空間，且兩方面又滿足一定的要求（例如線性運算關於拓撲是連續的等）。這樣，函數空間X通常也是拓撲線性空間。經典分析學研究中出現瞭許多重要的函數空間。對一些類型的函數空間，現已取得相當豐富的理論成就。

　　當Ω是拓撲空間，Ω上有界連續函數全體以極大模

為范數時構成巴拿赫空間 C( Ω)。特別當 Ω是局部緊的， C( Ω)中具緊支集（函數 f的支集即集合{ x∈ Ω； f( x)≠0}的閉包）的函數全體 C ₀( Ω)是 C( Ω)一個不完備的線性子空間。當 Ω是緊的， Ω上所有連續函數必有界，它們就構成 C( Ω)。對緊空間 Ω的特例

，

C( Ω)成為收斂序列全體所構成空間 C。

　　當在Ω中定義瞭測度μ，在(Ω，μ)上可測並使

在 Ω上可積（1≤ p＜∞）的函數 f的全體，賦有范數

時構成巴拿赫空間即勒貝格空間 l ^p( Ω， μ)。 l ^p( Ω， μ)中序列{ f _n}收斂（稱為 p次平均收斂）到 f即指 是一希爾伯特空間， f， g∈ l ²( Ω， μ)的內積 ，在復值函數情況下 l ²( Ω， μ)的內積為

。

l ^p(1＜ p＜∞)空間的重要推廣是奧爾裡奇空間。設[0，∞)上凸非降正函數φ（ s）滿足 。命 l _φ( Ω， μ)表所有使φ(｜ f( x)｜)在 Ω上可積的函數 f( x)。若存在某固定的 C＞0，φ( 2 s)≤ Cφ( s)，則對某 k＞0使φ( k｜ f( x)｜)可積的函數 f全體所成集合 L ( Ω， μ)取范數 時成為一個巴拿赫空間，稱為奧爾裡奇空間。當φ( s)＝ s ^p(1＜ p＜∞)時就給出奧爾裡奇空間的特殊情形 l ^p( Ω， μ)。如果存在正數 α使｜ f( x)｜≤ α幾乎處處成立(即除去一個零測度集外都成立)，稱 f為( Ω， μ)上本質有界可測函數，所有這樣函數 f在取本質上界

(幾乎處處)｝為范數時構成巴拿赫空間 M( Ω， μ)。對 Ω是每點具有單位質量(即測度為1)的序列{1，2，3，…， n}所成離散空間， M( Ω， μ)及 l ^p( Ω， μ)(1＜ p＜∞)分別就是熟知的序列空間 m及 l ^p。當( Ω， μ)的全空間 Ω有有窮的測度時，還可定義又一重要函數空間 S( Ω， μ)， S( Ω， μ)表示所有 Ω上幾乎處處有窮的可測函數 f，它是以 為擬范數的弗雷歇空間，其中序列｛ f _n｝收斂於 f，即 ，當且僅當 (即依測度收斂)。特別當 Ω＝(1，2，…， n，…)在點 n有質量1/ 2 ⁿ時， S( Ω)成為序列空間 s。

　　在復平面C的區域Ω上全純函數的研究，引出一類函數空間，即哈代空間h^p(p≥1)和與哈代空間h¹有關的有界平均振幅空間（見BMO空間）。

　　設Ω為n維歐幾裡得空間Rⁿ的子域，在C(Ω)中取l(＝1，2，…，∞) 階連續可微於Ω的函數f，其全體記為C^l(Ω)。C^l(Ω) 中具緊支集的函數集合記為C

( Ω)。若 Ω為 R ⁿ的子域閉包，則 f的條件改為對所有 α＝( α ₁， α ₂，…， α _n)（其中 α _i為非負整數，

如 l＜∞；0≤｜ α｜＜∞，如 l=∞）， D ^α f有界且一致連續於 Int Ω，得連續地開拓到∂ Ω，這樣的 f全體仍記為 C ^c(n)( Ω)。空間 C ^c(n)( Ω)的序列{ fυ}在 C ^c(n)( Ω)中收斂於0當且僅當對所有 α，0≤| α|≤ l(0≤｜ α｜＜∞，如 l=∞)，| D ^α fυ( x)|在 Ω內任何緊集上一致收斂於0，序列{ fυ} C ( Ω)在 C ( Ω)中收斂於0。如果 fυ的支集( v＝1，2，…)含於 Ω內與 v無關的緊集中而{ fυ}在 C ^c(n)( Ω)中收斂於0。

　　對域Ω⊂Rⁿ，C^∞(Ω)及C₀^∞(Ω)也分別記為E(Ω)及D(Ω)。它們是廣義函數論中的基本函數空間（見廣義函數）。對

表 C ^∞( Ω)中使得對所有 α， D ^α f∈ l ^p( Ω， m)（ m為勒貝格測度）的 f全體，它是拓撲線性空間，零元的基本鄰域為 也記為B( Ω)（ Ω= R ⁿ時， Ω得從記法中略去）。 C ^∞中滿足急減條件

（對一切 α，一切 k＞0）的函數 f所成急減函數空間記為φ，φ中零元的基本鄰域是

正整數 k。稱 C ^∞中 f滿足緩增條件，如｜ D ^α f( x)｜為｜ x｜的一多項式 P(依賴於 α)所控制，即｜ D ^α f( x)｜≤｜ P( x)｜，∀ α，│ x│→∞；這樣的 f所成的緩增函數空間記為 _M， _M中序列{ fυ}收斂於零元指對每個 α與每個 φ∈φ， 在 R ⁿ上一致收斂於0。

　　子域Ω⊂Rⁿ上索伯列夫空間

是巴拿赫空間，范數

D ^α f表此空間中函數 f在索伯列夫意義上的廣義導數； 。索伯列夫空間對研究偏微分方程問題解有重要意義且與其他函數空間概念有聯系。

　　隨著不同函數空間的提出，常要瞭解對偶空間的組成和性質。從熟知的C([0，1])與有界線性泛函數的表達推廣得知：對緊空間Ω，C(Ω)的對偶空間同構於Ω中波萊爾集所成集合上定義的可列可加集函數φ所組成的集合BV(Ω)，它在以φ在Ω上的全變差為范數時為巴拿赫空間。對於

和 l ^q( Ω， μ)， l ^p和 l ^q分別互為對偶空間。 M( Ω， μ)的對偶空間同構於一賦范空間，它的元 φ是定義在 Ω中所有可測集上的有限可加集函數，絕對連續（即對於 Ω上測度 μ， μ( N)=0⇒ φ( N)＝0)且在 Ω上具有界變差， φ在 Ω上全變差為范數‖ φ‖。 l ¹( Ω， μ)， l ¹，с的對偶空間分別同構於 M( Ω， μ)， m， l ¹。

　　D、φ、E的對偶空間分別為D′、φ′、E′。因為D

φ E、D′ φ′ E′。D′的元稱為施瓦茲廣義函數。滿足條件 （對任何整數 k＞0)的廣義函數 T稱為急減廣義函數，其全體記為 ć。從上面的規定及拓撲線性空間理論，有以下包含關系(1≤ p＜ q＜∞)：

略去φ，φ′， _M， ć則上面包含關系對於以子域 Ω⊂ R ⁿ取代 R ⁿ時仍成立。

　　兩線性空間A，B間包含關系，用記法A⊂B，在集合及代數結構意義上理解。有時兩線性拓撲空間A，B間包含關系A⊂B同時還表示映射A→B是連續的，這時A⊂B表A單射入B。在函數空間，廣義函數的空間，索伯列夫空間方面有許多這類關系，最常見的如l^p（Ω，μ）⊂l^q(Ω，μ)，q＜p。