線性代數方程組數值解法

　　計算數學的一個基本組成部分。在自然科學和工程技術的許多問題中，例如結構分析、網路分析、大地測量、資料分析、最優化以及非線性方程組和微分方程數值解等，都常遇到求解線性代數方程組的問題。早在中國古代的《九章算術》中，就已載述瞭解線性方程組的消元法。到19世紀初，西方也有瞭高斯消元法。然而求解未知數很多的大型線性代數方程組，則是在20世紀中葉電子電腦問世以後才成為可能。如何利用電腦更精確、更有效地解大型線性代數方程組是計算數學研究中的基本性的重要課題之一。<

　　設含有n個未知數、n個方程的方程組為

　　　(1)

式中 α _ij， f _i( i， j=1，2，…， n)為已知數，其相應的矩陣表達式為 　

　 　(2)

用矩陣和向量的符號，又可簡記為

Ax=f，　　　(3)

式中 A為(2)中的 n階系數矩陣( α _ij)； x、 f分別為(2)中 x _i及 f _i構成的 n維向量。如果 A的行列式de t A≠0，則按克拉默法則，式(3)的解為：

x_j=detA_j/detA，

式中 A _i是把 A中的第 i列元素用 f ₁， f ₂，…， f _n代替後所得的矩陣。該法則之功效主要在於其理論意義，若用於數值求解，則因 n+1個 n階行列式求值的計算量很大而不實用。

　　在計算實踐中，通常采用的線性代數方程組的數值解法大體上可分為直接法和迭代法兩大類。直接法是在沒有舍入誤差的假設下，經過有限次運算就可得到方程組的精確解的方法，如各種形式的消元法。迭代法則是采取逐次逼近的方法，亦即從一個初始向量出發，按照一定的計算格式（迭代公式），構造一個向量的無窮序列，其極限才是方程組的精確解。隻經過有限次計算得不到精確解。熟知的簡單迭代法、高斯－賽德爾迭代法、松弛法等都屬此類。上兩種方法各有優缺點，直接法普遍適用，但要求計算機有較大的存儲量，迭代法要求的存儲量較小，但必須在收斂性得以保證的情況下才能使用。直接法可以求得精確解是指就計算公式而言保證得到精確解，但計算機計算過程中的舍入誤差是不可避免的，這種誤差對解的精度影響會不會太大，也就是計算的穩定性，是要考慮的問題。對於迭代法，其收斂性則是要考慮的問題。

　　所以，不論是直接法還是迭代法都要根據方程組的具體性質，例如系數矩陣的稀疏狀態、正定性、對角優勢等等，選擇計算方法和采用諸如稀疏技術、加速收斂等相應措施，才能更為有效地利用計算機得出比較滿意的結果。

　　

參考書目

　馮康等編：《數值計算方法》，國防工業出版社，北京，1978。

　G.E.Forsythe and C.B.Moler，Computer Solution of Lineαr Algebrαic Systems，Prentice-Hall，Engle-wood Cliffs，New Jersey，1967.