研究服務系統中排隊現象的隨機規律的一門學科。各種服務系統中，有各式各樣的排隊現象，如售票廳中買票人的排隊，是一種有形的排隊；向電話局問詢臺問詢的用戶的排隊，是一種無形的排隊。凡是服務系統為之服務的物件，皆稱為顧客。排隊論中的顧客可以是人、是物、是事、是信息。由各種行業可組成各種服務系統，其性質和形式可以大不相同，但是，任何一種服務系統都包含以下三個基本組成部分：①輸入過程，即顧客到來的規律。②排隊規則，即為顧客服務的次序。③服務機構，即為顧客服務的各種設施施（服務員、服務臺、窗口等等）及服務的時間。
由於服務系統中顧客的到達以及服務時間和次序，都含有隨機因素，因此，排隊論又稱為隨機服務系統理論。排隊論所要研究的課題，是如何合理地設計與控制服務系統，使之以最經濟的服務機構滿足顧客的需要。
刻畫服務系統的性能優劣的主要數量指標有三個：①等待時間，即從顧客到達時起，到開始接受服務時止的這段時間。這是顧客所關心的。②忙期，即服務機構連續繁忙的時期。這是服務機構所關心的。③隊長，即服務系統中的顧客數目。這是顧客與服務機構都關心的，而且因其涉及等待空間的大小，所以對於設計人員至為重要。
此外，有時也用到其他一些數量指標。
模型 關於輸入過程、排隊規則和服務機構的模型，將最常見的敘述如下。
輸入過程的模型 ①定長輸入，即顧客等間隔到達，如產品經傳送帶輸入包裝箱。②最簡單流輸入或稱泊松輸入，即顧客相繼到達的間隔時間相互獨立，且具有相同的負指數分佈，其分佈函數（見概率分佈）為
此處
λ為一正的常數。如電話呼喚流的到來。對於最簡單流，可以證明，在
t時間內到達
k個顧客的概率
v
k(
t)遵從
泊松分佈
。③埃爾朗輸入
E
k，即顧客相繼到達的間隔時間相互獨立，並具有相同的埃爾朗分佈密度
，其中
k為正整數，
λ＞0為一常數。④一般獨立輸入，即顧客相繼到達的間隔時間相互獨立，並具有相同的一般分佈。前三種輸入是此種輸入的特例。⑤成批到達的輸入，即有一系列的到達點（時間），它們的間隔分佈可以是上述的各種分佈，但是，在每一到達點上來到的顧客不是單獨一個，而是一批，每批顧客的數目
n為一
隨機變量，其分佈為
P{
n=
k}=
α
k(
k=0，1，2，…)。
排隊規則的模型 主要有三種。①損失制，即顧客到達時，若所有服務臺均被占，該顧客就自動消失。如通常使用的損失制電話系統。②等待制，即顧客到達時，若所有服務臺均被占，顧客就排隊等待服務，且可以采用下列各種規則：a.先到先服務，即按顧客到達的先後次序給以服務。這是最通常使用的方法。b.後到先服務，即當服務機構得空時，總是挑選最後到達的顧客給予服務。如在通訊系統中，最後到達的信息一般說來是最有價值的，因而往往采取這種服務方式。c.隨機服務，即當服務機構得空時，在等待的顧客中隨機選取一名顧客給予服務，每一個顧客被選到的概率是相同的。d.優先權服務，如碼頭上對載有重要物資的船隻先進行裝卸；在電話局對長途電話比市內電話優先服務。e.多個服務臺的情形，可在顧客到達時排成一個公共的隊，按上述各種規則給予服務，或者在每個服務臺前排成一隊，第m個顧客到達時以概率pmi排入第i個隊接受服務，此處
m=1，2，…，
n表示服務臺個數。③混合制，在隊長有限制的情形，若限制隊長為
N，則在顧客到達時的隊長小於
N時，顧客就排入隊伍；當其等於
N時，顧客就離去。在等待時間有限制的情形，若規定等待時間為
T，則顧客在隊伍中等待的時間不大於
T，顧客可得到服務；當其大於
T時，顧客就離去。在顧客的逗留時間(即顧客的等待時間與服務時間之和)有限制的情形，若規定逗留時間為
T，則顧客逗留時間超過
T時即離去。
服務機構的模型 在服務設施方面，服務臺的個數可以是一個或幾個；在其組織形式上，可以是並聯的或串聯的或循環的；在服務方式上，可以是單個服務的或成批服務的；在服務時間上，可以是定長分佈、負指數分佈、埃爾朗分佈、一般分佈等各種類型的分佈。對於多個服務臺的情形，各個服務臺的服務分佈可以是參數不同或類型不同。
D.G.肯德爾在1951年引入瞭一個常用的關於隨機服務系統分類的記號X/Y/n，其中X代表輸入，Y代表服務，n代表服務臺的數目。在排隊論中，通常用M代表泊松輸入或負指數服務分佈，用D代表定長分佈，用Ek代表埃爾朗分佈，用GI代表一般獨立輸入，用G代表一般服務分佈。最常見的服務系統模型有M/M/1、M/M/n、M/G/1、M/G/n、GI/M/1、GI/M/n、GI/G/1和GI/G/n等，其中如M/G/1表示具有泊松輸入、一般服務分佈、單個服務臺的系統，而M/M/n表示泊松輸入。負指數服務分佈、n個服務臺的系統。如果不附加說明，這種記號一般都指先來先服務、單個服務、服務臺並聯的等待制系統。
平穩性態的研究 如果在有限時刻去考察一個系統，該系統的數量指標的變化規律一般會依賴於初始條件及已經運行的時間，那麼系統在此時的狀況稱為瞬時性態。如果系統已運行瞭相當長的時間，每項數量指標在任何時刻的變化規律是相同的，而且不再受初始條件的影響，那麼就稱該系統在此時已處於統計平衡，其狀況就稱為平穩性態。
1909年，A.K.埃爾朗關於電話系統排隊問題的研究開始後的四五十年間，絕大多數的文獻都屬於平穩性態的研究。平穩性態的研究是排隊論研究的發端。早期研究中最著名的結果是損失制的M/M/n系統的埃爾朗公式，即顧客到達系統後，由於n個服務臺被占用而遭到損失的概率（稱為損失率）是
式中
λ為最簡單流的參數，即單位時間內到達的顧客的平均數；
μ為負指數服務時間分佈的參數，即單位時間內每個服務臺服務完的顧客的平均數。
這個公式對於系統的性能分析及設計都有重要作用。例如在電話系統中，由統計檢驗已經證實，呼喚流的到來正好是最簡單流，而會話時間也服從負指數分佈，因此隻要統計出單位時間內到來的呼喚平均數λ及會話的平均長度1/μ，根據電話局線路的數目n，就能由此公式確定呼損率的大小。反之，如果先規定呼損率的指標，比如要求小於5‰，即平均1000次通話中最多有5次打不通，那麼由公式即可求出需要的最少線路數目。
埃爾朗公式還被推廣到M/G/n系統，自1957年起，陸續給出瞭嚴格的證明。
另一著名的公式是辛欽-波拉采克公式，它主要包括兩個公式：其一為M/G/1系統中顧客的平均數Q＝ρ＋
，式中
λ是單位時間內到達的顧客的平均數，
ρ=
λ/
μ稱為服務強度，1/
μ是每個顧客的平均服務時間，而
σ
2為服務時間的方差。可以看出，在平均服務時間不能縮減的情況下，縮減服務時間的方差也能使系統中顧客的平均數下降。其二為
M/
G/1系統中等待時間分佈的拉普拉斯變換
，式中
λ、
ρ如同上述，
B
*(
s)是服務時間分佈的拉普拉斯變換，它完全確定等待時間的分佈。
為瞭研究系統在什麼樣條件下才能最終達到統計平衡的問題，肯德爾在1951年首先對M/G/1系統引進瞭嵌入馬爾可夫鏈的概念，並證明瞭系統中隊長達到統計平衡的充分必要條件是，服務強度ρ＜1。它的直觀意義是明顯的，即隻有在單位時間內到達的顧客的平均數小於被服務完的顧客的平均數時，隊長才能避免無限增長而達到平衡。在1953年，他又對GI/M/n系統得到瞭類似的結論。關於等待時間，則在1952年就有文獻對GI/G/1系統證明瞭：服務強度ρ＜1也是等待時間達到統計平衡的充分必要條件。關於統計平衡的其他研究工作，也不斷出現。
瞬時性態的研究 從20世紀50年代中期開始，引起瞭人們的註意，並逐漸成為排隊論研究的焦點。最早的瞬時性態研究是求解描述最簡單的M/M/1系統的生滅過程的微分方程組，利用瞭母函數法、隨機遊動法或譜論。
當輸入間隔與服務分佈並非都是負指數分佈時，則情況更為復雜。為瞭將非馬爾可夫過程化為馬爾可夫過程，以便於處理，於是引入瞭嵌入馬爾可夫鏈和提出瞭補充變量法。又由於考慮瞭所謂的再生點，而使更新過程（見點過程）的技巧在排隊論中也得到廣泛的應用。此外，利用有關變量概率關系的分析並結合拉普拉斯變換的方法，已成為排隊論的有力工具。
對於更一般的系統GI/G/1的瞬時性態研究，由於組合分析法的運用而有瞭很大的進展。
對於經典的系統M/M/1、M/M/n、M/G/1、GI/M/1、GI/G/1和GI/M/n的瞬時性態研究，在一些主要問題上，已經得到解決，中國數學工作者作出瞭貢獻。但是在M/G/n和GI/G/n系統的瞬時性態研究方面，隻獲得瞭某些定性的結果，尚未求得明顯解。
逼近理論 由於一些系統瞬時性態問題的解，包含著極為復雜的拉普拉斯變換的反演與母函數的展開，實際計算起來相當困難，而另一些系統如M/G/n與GI/G/n的平穩性態與瞬時性態問題的明顯解均未求得，因此有必要去研究各種便於實際計算的近似解法。
由考慮能否找出某些量的上界、下界來給出系統的初步信息，導致許多有關平均隊長或平均等待時間的上界、下界的研究。由考慮能否用簡單的系統來逼近復雜系統，導致研究諸如用埃爾朗輸入或服務的系統來逼近一般系統、用分析上易於處理的擴散過程來逼近各種排隊過程。由考慮逼近的有效性，導致關於所謂連續性即逼近序列的變化而引起極限系統的變化大小的討論。
此外，有很多文獻討論飽和服務（服務強度小於1而已充分接近於1的情形）的逼近問題。因為它涉及系統的合理設計問題，所以在應用上值得註意。
對於尚未解決的M/G/n系統，除瞭利用擴散逼近求解外，還有采用補充變量法與拉普拉斯法，列出方程組後，直接進行近似求解，或在作出馬爾可夫性的近似假定後，再來計算求解。
研究復雜系統的性態時，計算機模擬的方法有很大的實用價值。
最優化 隨機服務系統的最優化問題雖然起源很早，但是到20世紀60年代才受到普遍重視。它包括設計最優化與控制最優化兩個方面。
設計最優化與性態研究的關系較為密切，一般來說，隻要對性態研究得到瞭明顯表達式，設計最優化也就隨之解決。
控制最優化問題，在研究中有時需要采用新的概念與技巧。首先，作為最優化的標準，應考慮一個目標函數，例如總費用最小或總效益最大；其次，必須對系統運行的概率規律有確切的瞭解，才能實際控制。另外，作為決策人進行控制的手段，要有一組可供選擇的策略，於是，有可能形成一個馬爾可夫決策過程的模型。馬爾可夫決策過程在控制最優化問題的研究中，有重要作用。
輸入過程、排隊規則以及服務設施都有最優化控制問題。輸入過程的最優控制可以通過拒絕顧客的到達來進行，可以用調整平均到達速度來進行，也可以讓顧客本身發揮作用如利用價格政策的影響來進行。排隊規則的最優控制可以通過優先權的指定或顧客在各服務臺之間的分配來進行。服務設備的最優控制可以通過增減服務速度或服務臺的數目來進行。
還有一些與排隊論有密切關系的隨機分支。
存儲論也稱水庫論，起源於水庫蓄水問題。上遊的水不斷流入水庫，水庫又按一定規則放水，以使水庫存儲的水量保持在安全理想的狀態，並能滿足防洪、發電、航運、灌溉等等多種需要。在各種輸入、輸出情況下研究庫容變化規律，是存儲論的主要研究內容。存儲論中的庫容問題與排隊論中的等待時間問題，在某種離散的特殊情形下，是兩個完全等價的問題，但是，由於水庫進水是連續的，而放水可以是離散的，也可以是連續的，因而一般不能用排隊論的方法直接處理水庫問題。水庫問題與排隊問題既相似又不同，它有自身的理論體系，其發展與排隊論又互為影響。
計算機設計的數學理論，是20世紀60年代中期排隊論開始應用於計算機的性能分析而產生的。計算機系統本身就是一個大型的、復雜的、網絡式的隨機服務系統，因之可用排隊論的方法來研究計算機的設計和性能分析。在實時處理、分時系統、多道程序、計算機網絡和存儲器分配中，都有排隊論的應用。排隊論是計算機設計的數學理論基礎之一。
其他有關的分支是計算機模擬、可靠性數學理論及庫存論。
參考書目
徐光煇著：《隨機服務系統》，科學出版社，北京，1980.
J.W.Cohen，The Single Server Queue，Rev.ed.，North Holland，Amsterdam，1982.
D.R.Cox &W.L.Smith，Queues，Methuen，London，1961.