簡稱歐氏幾何，主要是以歐幾裏得平行公理為基礎的幾何學。它的創始人是古代希臘的偉大數學傢歐幾裏得。西元前7世紀左右，埃及的幾何知識由希臘的自然哲學者泰勒斯傳入希臘。希臘學者不僅發現瞭許多新的幾何問題，而且開始把邏輯學的思想方法引進幾何學，對幾何問題進行瞭邏輯推理和證明，促進瞭幾何學的發展。畢達哥拉斯學派研究瞭許多問題。例如，三角形的內角和、五種正多面體、黃金分割等，發現瞭比例中項定理，畢達哥拉斯定理。雅典學派的希波克拉底、柏拉圖、歐多克索斯等人，對幾何學的發發展有很大的貢獻，他們曾提出有名的希臘幾何三大問題：任意角三等分問題、立方倍積問題、化圓為方問題，希波克拉底曾對一些幾何定理作出證明，為幾何的邏輯結構打下初步基礎。柏拉圖把邏輯思想引進幾何學，使幾何系統逐漸嚴格化。歐多克索斯的比例論和窮盡法是近代微積分思想的淵源。

　　希臘人積累的幾何知識同邏輯思想結合起來，為幾何的系統化、公理化以及歐幾裡得的《幾何原本》的出現奠定瞭基礎。歐幾裡得是希臘亞歷山大學派的創始人，他按照邏輯系統把幾何命題整理起來，完成瞭數學史上的光輝著作《幾何原本》。這本書問世以後的兩千年中，一直被用作教科書。它被認為是學習幾何知識和培養邏輯思維能力的典范教材，而且世界上大多數國傢都有《幾何原本》的譯本。中國最古的譯本是明代徐光啟譯出的，“幾何”一詞就是他第一個使用的。《幾何原本》除瞭有它的數學教育意義外，還有它的數學方法論的意義。歐幾裡得從一些定義、公理和公設出發，運用演繹推理的方法，從已得的命題邏輯地推出後面的命題，從而展開《幾何原本》的全部幾何內容。從當時的人類文化水平來看，這是一種很嚴謹的幾何邏輯結構，歐幾裡得的這種邏輯地建立幾何的嘗試，成為現代公理法的源流。

　　《幾何原本》全書共13卷，除其中第5、第7、第8、第9和第10卷是講述比例和算術理論外，其餘各卷都是講述幾何內容的。第1卷內容有平行線、三角形、平行四邊形的定理；第2卷主要是畢達哥拉斯定理及其應用；第3卷講述關於圓的定理；第4卷討論圓的內接與外切多邊形定理；第6卷內容是相似理論;最後3卷是立體幾何。這些幾乎包含瞭現在中學所學的平面幾何、立體幾何的全部內容。

　　正如歐幾裡得所闡述的，《幾何原本》是一個數學知識的邏輯體系，結構是由定義、公設、公理、定理組成的演繹推理系統。在第1卷開始他首先提出23個定義，前6個定義是：①點沒有大小；②線有長度沒有寬度；③線的界是點；④直線上的點是同樣放置的；⑤面隻有長度和寬度；⑥面的界是線。在定義之後有5個公設：①從任意點到另一點可以引直線；②有限直線可以無限延長；③以任意點為圓心，可用任意半徑作圓；④所有直角都相等；⑤如果兩條直線與另一條直線相交，所成的同側內角的和小於兩直角，那麼這兩條直線在這一側必相交。其次，有5個公理：①等於同量的量相等；②等量加等量其和相等；③等量減等量其差相等；④可重合的圖形全等；⑤全體大於部分。在公理後面，歐幾裡得便證明各個命題，每個命題都要以公設、公理或它前面的命題作為證明的根據，按邏輯的相關性把它排列成命題1、2、3、…。這些命題實際上就是人們所說的“定理”。

　　歐幾裡得的《幾何原本》，雖然在教育和科學意義上，在歷史上受到很高的評價，但用現在的科學水平衡量，它的幾何邏輯結構在嚴謹性上還存在很多缺點。首先，歐幾裡得的定義並不能成為一種數學定義，有的不過是幾何對象點、線、面的一種直觀描述，有的含混不清，這些定義在後面的論證中，實際上是無用的。其次，歐幾裡得的公設和公理，是遠不夠用的，因而在《幾何原本》的許多命題的論證中，不得不借助直觀，或者或明或暗地引用瞭用他的公設和公理無法證明的事實。特別要指出的是研究《幾何原本》的許多學者都註意到歐幾裡得的第五公設比較復雜，看來很象定理。歐幾裡得之後的兩千年很多學者都試圖用其他公設和公理加以證明，但都失敗。直到19世紀，C.F.高斯、H.И.羅巴切夫斯基、J.波爾約、（G.F.）B.黎曼等發現瞭非歐幾何，才瞭解到歐幾裡得第五公設不是其餘公設和公理的推論，不能用那些公設和公理來證明，而是一個獨立的命題。

　　在歐幾裡得幾何體系中，第五公設和“在平面內過已知直線外一點，隻有一條直線與已知直線平行”相等價，現在把後一命題稱作歐幾裡得平行公理。它體現瞭“歐幾裡得幾何”與“非歐幾裡得幾何”的區別。

　　19世紀末期，德國數學傢D.希爾伯特於1899年發表瞭著名的著作《幾何基礎》，書中成功地建立瞭歐幾裡得幾何的完整的公理體系，這就是所謂希爾伯特公理體系，希爾伯特首先抽象地把幾何基本對象叫做點、直線、平面。作為不定義元素，分別用A、B、C、…，α、b、с、…，α、β、у、…表示，然後用5組公理：結合公理、順序公理、合同公理、平行公理、連續公理來確定基本幾何對象的性質，用這5組公理作為推理的基礎，可以邏輯地推出歐幾裡得幾何的所有定理，因而使歐幾裡得幾何成為一個邏輯結構非常完善而嚴謹的幾何體系。希爾伯特公理體系的完成，不僅使歐幾裡得《幾何原本》的完善工作告一段落，且使數學公理法基本形成，促使20世紀整個數學有瞭較大的發展，甚至這種影響也擴大到其他科學領域，如物理、力學等。

　　希爾伯特公理體系中的公理如下：

　　結合公理　①對於兩點A、B，存在通過這兩點的直線α；②對於不同兩點A、B，至多存在一條直線通過這兩點；③每條直線上至少有兩點，至少存在三點不在同一直線上；④對於不在同一直線上的三點A、B、C，存在通過這三點的平面α，在每個平面上至少有一個點；⑤對於不在同一直線上的三點A、B、C，至多有一個平面α通過這三點；⑥如果直線α的兩點A、B在平面α上，那麼直線α的每個點都在平面α上；⑦如果兩個平面α、β通過一點A，那麼它們通過另一個點B；⑧至少存在四個不在同一平面上的點。結合公理①～⑧確定瞭點、直線、平面的結合關系，結合關系敘述為“在……上”和“……通過……”。利用結合公理①～⑧就可以推出一系列定理。例如，①兩條直線至多有一個交點；兩個平面或者沒有交點，或者有一條相交直線；平面和不在其上的直線至多有一個交點。②通過一條直線和不在其上的一點，或通過相交的兩條直線，有且隻有一個平面；每個平面上至少有三點。

　　順序公理　①如果點B在點A、C之間，那麼點A、B、C是一條直線上的不同三點，而且點B也在點C、A之間。②對於兩點A、C，直線AC上至少存在一點B，使點C在點A、B之間。③在一條直線上的三點中，至多有一點在另兩點之間。④設A、B、C是不在同一直線上的三點，α是平面ABC上的一條直線，但不通過三點A、B、C的任何一個。如果直線α通過線段AB上的點，那麼它或者通過線段AC上的點，或者通過線段BC上的點。順序公理④又叫做帕施公理，順序公理①～④確定瞭幾何元素順序關系，這種關系敘述為“……在……之間”。利用順序公理①～④和結合公理①～⑧，就可以推出一系列有關順序的定理，例如，①直線α上的點O把這條直線上的其他點分為兩類，使點O不在同一類的兩點之間，而在不同類的兩點之間。②在平面α上的每條直線α，把α上不在直線α上的點分為兩類，使同一類的兩點確定的線段與直線α沒有交點，而不同類的兩點確定的線段與直線α有交點。③每個平面α把不在其上的點分為兩類，使同一類的兩點確定的線段與平面α沒有交點，而不同類的兩點確定的線段與直線α有交點。

　　合同公理　①如果A、B是直線α上的兩點，A′是同一條或另一條直線α′上的一點，那麼在直線α′上點A′的一側，總有一點B′使線段AB合同於線段A′B′。對於每個線段AB，都有合同關系AB≡BA；②如果線段A′B′、A″B″都合同於同一線段AB，那麼線段A′B′合同於線段A″B″，就是說，如果A′B′≡AB，A″B″≡AB，那麼A′B′≡A″B″；③設線段AB和BC是直線α上的兩個線段，沒有公共內點，A′B′和B′C′是同一條或另一條直線α′上的兩個線段，也沒有公共內點。如果AB≡A′B′，BC≡B′C′，那麼AC≡A′C′；④在平面α上有一個角∠(hk)，在同一個或另一個平面α′上有一條直線α′，而且在平面α′上給出直線α′的一側，設h′是直線α′上從點O出發的射線，那麼在平面α′上有且隻有一條射線k′，使∠(hk)合同於∠(h′k′)，而且∠(h′k′)的內點都在α′的已知一側。每個角合同於自身，即：∠(hk)≡∠(hk)，∠(hk)≡∠(kh)；⑤設A、B、C是不在同一直線上的三點，A′、B′、C′也是不在同一直線上的三點，如果AB≡A′B′，AC≡A′C′，且∠BAC=∠B′A′C′，那麼∠ABC≡∠A′B′C′，∠ACB≡∠A′C′B′。合同公理①～⑤確定瞭線段或角的合同關系。這種關系敘述為“……合同於……”或“……等於……”。利用合同公理①～⑤、結合公理①～⑧和順序公理①～④，就可以推出一系列的有關定理，例如：①關於三角形合同的幾個定理；②所有直角都相等；③每個線段都有惟一中點；④每個角都有惟一平分線；⑤三角形的外角大於不相鄰的內角。

　　平行公理　如果α是任意直線，A是不在α上的一點，那麼在α和A確定的平面上，隻有一條直線通過A，且不與α相交。平行公理確定瞭直線的平行關系，這種關系敘述為“……平行於……”，利用平行公理和結合公理①～⑧，順序公理①～④和合同公理①～⑤，就可以推出一系列的有關定理。例如：①平行於同一條直線的兩條直線平行；②兩條平行直線與第三條直線相交，同位角、錯角相等；③三角形的內角和等於二直角；④矩形存在；⑤相似形存在；⑥勾股定理。

　　連續公理　①對於任意兩個線段AB和CD，在直線AB上存在有限個點A1、A2、…、An，使線段AA1、A1A2、…、An-1An都合同於線段CD，而且點B在A、An之間。②一直線上的點的集合，在保持結合公理①和②、順序公理②、合同公理①～⑤、連續公理①的條件下，不可能再擴充。連續公理①叫做阿基米德公理，連續公理②叫做直線的完備性公理，現在直線的完備性公理，多用康托爾公理或戴德金公理來代替，連續公理①和②確定瞭直線上點的連續性，也就是直線上的點和所有實數成一一對應關系，利用連續公理①和②、結合公理、順序公理、合同公理就可以推出一系列有關連續性的定理，例如：①對於任意實數α＞0，總有一個線段長度等於α；②如果直角的角度是ω，那麼對於任意實數α，0＜α＜ω，總有一個角，角度等於α；③如果直線通過圓內的點，那麼它與圓相交於兩點；④如果一個圓通過另一個圓的內點和一個外點，那麼這兩個圓交於兩點。

　　用以上結合公理、順序公理、合同公理、平行公理、連續公理可以推出歐幾裡得幾何的全部內容，但平行公理並不能用結合公理、順序公理、合同公理、連續公理推出。如果在這四組公理外，加上一個羅巴切夫斯基公理（見非歐幾裡得幾何學），就可以推出非歐幾何的全部內容，結合公理、順序公理、合同公理、連續公理是這兩種幾何的共同部分，隻涉及這四組公理的內容叫做絕對幾何。隻有涉及歐幾裡得平行公理，或羅巴切夫斯基平行公理的一些命題，才是歐氏幾何和非歐幾何的不同內容。