簡稱歐氏空間，是帶有“內積”的實數域上的一類向量空間。“內積”是一個度量概念，有明顯的代數性質，向量的長度和夾角都可以通過向量的內積來表示。所謂內積，是指與實數域R上向量空間E中任意一對向量u、v惟一對應的實數，這個實數記作(u，v)，並滿足以下條件：
①(u，v)=(v，u)，②
③(
αu，
v)=
α(
u，
v)，④(
u，u)≥0，當且僅當
u=
0時(
u，u)=0，式中
u，
u
1，
u
2，
v是
E的任意向量，
α是任意實數。
一個定義瞭內積的實數域上的向量空間，稱為歐幾裡得空間。例如，設V是解析幾何裡的三維空間，u、v是V的任意向量，在V中定義(u，v)=｜u｜·｜v｜cosθ，其中|u|、|v|分別表示u、v的長度，θ表示u和v的夾角。(u，v)滿足內積的全部條件，所以V是一個歐氏空間。設R是實數域，R上的n維向量空間
，定義
，式中
，則
R
n成為一個歐氏空間。設
E是定義在閉區間[-1，1]上一切連續實函數所構成的向量空間，定義
，
式中
f(
t)、
g(
t)是
E中的函數。則
E作成一個歐氏空間。
向量的長和夾角 歐氏空間E的一個向量x的長，定義為非負實數
，並記作|
x|，即
。
歐氏空間
E的任意兩個非零向量
x和у 的夾角
θ由公式cos
θ=(
x，у)/(|
x||у|)來確定。這是解析幾何裡關於兩個向量夾角的自然推廣。著名的柯西－施瓦茲不等式或佈雅科夫斯基不等式(
x，у)≤(
x，
x)(у，у)，當且僅當
x與у成比例時等號才成立，保證瞭上述的夾角定義的合理性。歐氏空間
E的兩個向量
x與у的距離定義為|
x-у|。對於
E的任意三個向量
x、у、
z，有通常關於距離的三角形不等式成立：｜
x-
z｜≤｜
x-у｜+｜у-
z｜。
標準正交基 如果歐氏空間的兩個向量x與у的內積為零，即(x，у)=0，那麼x與у 稱為正交的。在一個歐氏空間裡，與解析幾何的直角坐標系相類似的概念是所謂標準正交基。n維歐氏空間E的基e1，e2，…，en，如果滿足條件
那麼
e
1，
e
2，…，
e
n稱為
E的一個標準正交基，即
E的一組長度為1且兩兩正交的基稱為標準正交基。任何一個
n維歐氏空間都有標準正交基。如果
e
1，
e
2，…，
e
n是
n維歐氏空間
E的一個標準正交基，
，是
E的任意向量，那麼
，即在一個標準正交基下，兩個向量的內積等於其對應坐標的乘積之和。
歐氏空間的同構 如果兩個歐氏空間E和E′，作為實數域上的向量空間是同構的，而且當x↔x′，у↔у′時有(x，у)=(x′，у′)，即E和E′的相對應的向量的內積是相等的，那麼E與E′稱為同構。任意一個n維歐氏空間都與Rn同構。
酉空間 歐氏空間在復數域上的自然推廣。如果V是復數域上的一個向量空間，對於V的任意一對向量u、v，有一個確定的復數(u，v)與之對應，且滿足以下條件：(u，v)
，當且僅當
u=
0時等號成立，那麼
V稱為酉空間。這裡
u
1，
u
2是
V的向量，
α是任意復數，
表示(
v，
u)的共軛復數。由於有
，所以(
u，
u)是實數，因而(
u，
u)≥0有意義。
在一個酉空間裡，也可以把向量u的長｜u｜定義為
，但是不能象在歐氏空間裡那樣來定義兩個向量的夾角，因為一般說來，(
u，
v)不一定是實數。盡管酉空間裡有向量的長度概念而無夾角概念，然而仍可引入兩個向量正交的概念。如果酉空間的兩個向量
u、
v的內積為零，即(
u，
v)=0，那麼
u與
v稱為正交的。在一個
n維酉空間裡，也可以定義標準正交基；而且任一
n維酉空間必定存在標準正交基。