線性變換

　　同一域上兩個向量空間之間的映射，是線性代數的一個主要研究物件。

　　設V和V′是域K上的向量空間，L是從V到V′的映射，如果對於V中任意向量<u、v以及K中任意元素α、b，有L(αu+bv)=αL(u)+b)L(v)，那麼L稱為V到V′的線性變換。例如，解析幾何裡的三維空間中任一向量(x，y，z)在xy平面上的投影：L((x，y，z))=(x，y)，就是實數域R上三維向量空間R³到二維向量空間R²的一個線性變換。設x是n維向量，M是m×n實矩陣，令L(x)=M·x，則L就是Rⁿ到R^m的一個線性變換。

　　設L是V到V′的一個線性變換，B={b)_j|j=1，2，…，n}和C={с_j|i=1，2，…，m}分別是V和V′的基，於是，V中任一元素x可表為

，其中 x _j是域 K的元素。由線性變換的定義可推得 。若

式中 α _ij是域 K的元素，令 M( L)=( α _ij)， x寫為列向量( x ₁， x ₂，… x _n) ^T，則 L( x)＝ M( L)· x。此時 M( L)稱為 L對( B， C)基的矩陣。當基取定之後，就在 L與 M( L)之間建立瞭一一對應關系，即 V到 V的一切線性變換與 K上一切 n× m矩陣之間是一一對應的。線性變換保持子空間及其包含關系，即若 S ₁、 S ₂都是 V的子空間，且有 時，則 L( S ₁)、 L( S ₂)必是 V′的子空間，且有 。 V′的零向量在 V中的原像組成的集合，稱為 L的核，記作 Ker L， L( V)表示 V在 L作用下的像，則 Ker L和 L( V)分別為 V和 V′的子空間，若以dim Ker L和 dim L( V)分別表示子空間 Ker L和 L( V)的維數，則有 dimKer L+ dim L( V)= dim V。dim Ker L稱為 L的虧， dim L( V)稱為 L的秩。

　　從線性變換和矩陣的對應關系可知這兩者是同一的，但是線性變換的矩陣與基有關，而線性變換卻不受基的限制，所以線性變換使用起來要方便一些。例如，解齊次線性方程組：

就可看作求 Ker L的問題，這裡 L是矩陣( α _ij)所代表的線性變換。因此，當 L的虧為0時方程組隻有零解。在 m＜ n時，由虧和秩的關系可知 dim L( V)＜dim V，所以， L的虧＞0，此時方程組有非零解，而且所有的解構成 V的一個子空間。於是隻要找出Ker L的基，就可寫出解的一般表達式。

　　在V=V′時，若V到V′的線性變換L是一個雙射，則L稱為可逆變換或非奇異變換。從虧和秩的關系可知以下條件是等價的：①L是正則的；②M(L)是非奇異的；③L(V)=V；④KerV={o}。V的正則變換以映射的合成為運算構成一個群，稱為V上的一般線性群，記作GL(V)。

　　在V和V′都是賦范線性空間時，V到V′的線性變換就稱為線性算子。如果V′是一維實空間，那麼就把線性算子稱為線性泛函。對於線性算子L若存在常數M，使得‖L(x)‖≤M·‖x‖，對於V的一切x都成立，那麼L稱為有界的。對於線性算子來說，有界和一致連續是等價的。