線性常微分方程

　　微分方程中出現的未知函數和該函數各階導數都是一次的，稱為線性常微分方程。它的理論是常微分方程理論中基本上完整、在實際問題中應用很廣的一部份。

　　線性一階常微分方程　在初等常微分方程中已經知道方程

y′+p(x)<y=Q(x)　 　 (1)

及其對應的齊次線性方程

y′+p(x)y=0　　　 　 (2)

的解法，得到(2)的通解和滿足初始條件 y( x ₀)= y ₀的特解分別為：

　　　(3)

(1)的通解和滿足初始條件 y( x ₀)= y ₀的特解分別為：

，(4)

方程(1)、(2)及其解有以下的重要的性質。

　　①y(x)≡0是(2)的解，稱為明顯解。如果p(x)在x₀連續，則滿足零初始條件y(x₀)=0的解必為明顯解。②方程(2)的任意兩個解y₁與y₂的線性組合C₁y₁+C₂y₂也是(2)的解，C₁，C₂是任意常數。③y^*(x)是(2)的滿足條件y(x₀)=1的特解。④(2)的解的全體構成一維線性空間，明顯解是零元素。⑤ 方程(1)的通解(4)等於(1)的一個特解加上(2)的通解。⑥Y(x)是(1)的滿足零初始條件y(x₀)的特解。⑦若Q(x)=Q₁(x)+Q₂(x)，又已知y_i(x)是y′+p(x)y=Q_j(x)，(i=1，2)的解，則y₁(x)+y₂(x)是方程(1)的解（疊加原理）。

　　易見，線性代數方程組的解也具有類似的性質。線性常微分方程組和線性高階常微分方程的解也有同樣的性質。

　　線性一階常微分方程組　這種方程組可寫成如下形式

　(6)

若其中 α _ij( x)， f _i( x)在 x的區間( α， b)上為連續，則方程(6)的滿足

的解( y ₁( x)， y ₂( x)，…， y _n( x))在區間( α， b)上存在而且惟一。

　　為方便計，(6)可寫為向量方程

(7)

式中

而對應的齊次方程是

(8)

　　仿照線性代數中那樣，對於任意m個n元向量函數y₁(x)，y₂(x)，…，y_m(x)，可以定義它們在區間(α，b)上的線性相關與線性獨立。當這些函數都是同一個方程(8)的解時，它們的線性相關性或獨立性可由其在(α，b)中的任一點x₀為線性相關或獨立來決定。特別，當m=n時成立等式

(9)其中

後一行列式稱為 y ₁， y ₂，…， y _n的朗斯基行列式。由它在( α， b)中任一點的值等於零或不等於零，可判定 y ₁， y ₂，… y _n在( α， b)中是(8)的線性相關解或線性獨立解。由此，方程(8)必存在 n個線性獨立解，而任何 n+1個解都是線性相關的。

　　對應於方程(1)與(2)的前述7條性質，方程(7)與(8)也有如下的性質。①y(x)≡0是(8)的明顯解。若A(x)在x₀連續，則滿足條件y(x₀)=0的解必為明顯解。②方程(8)的任意幾個解的線性組合也是(8)的解。(8)的通解可表為

，其中 C ₁， C ₂，…， C _n為 n個任意常數， y ₁( x)， y ₂( x)，…， y _n( x)是(8)的任何 n個線性獨立解，稱之為(8)的一個基本解組，由它們的 n ²個分量構成的方陣稱為基解方陣。③若 y壜( x)，( i=1，2，…， n)是(8)的基本解組，使對應的基解方陣 Y ^*（ x）滿足初值條件 Y ^*( x ₀)= E（ E為單位方陣），則(8)的任一解 y( x)可表示為 y( x)= Y ^*( x) y( x ₀)。但僅當 與 A( t)為可交換時(即 B( t) A( t)= A( t) B( t)）， Y ^*( x)才能寫成 的形式。④(8)的解的全體構成 n維線性空間，任何一個基本解組都可作為此空間的基底，明顯解是零元素。⑤方程(7)的通解等於它的一個特解加上(8)的通解，且可表示為：

　　　(10)

式中 y ₀= y( x ₀)。⑥(10)式右邊第二項是方程(7)的滿足零初始條件 y( x ₀)=0的特解。⑦若 f( x)= f ₁( x)+ f ₂( x)，又已知 y _i( x)是 的解，則 y ₁( x)+ y ₂( x)是(7)的解。

　　線性高階常微分方程　這種方程可寫為如下形式

。　　　(11)

此方程可借助於引進新的未知函數化為一階方程組。令 y ₁= y， y ₂= y′， y ₃= y″，…， y _n= y ^(n-1)，則(11)化為

若改記(12)為向量方程，則

這時式(9)中的 ，而朗斯基行列式成為

式中 y ₁， y ₂，…， y _n表示(11)所對應的齊次方程的任意 n個解，而(11)的通解是對應的(12)的通解(10)的第一個分量。

　　由於黎卡提方程y′=p(x)y²+Q(x)y+R(x)可借代換

化為 u的線性二階方程

或線性方程組

。

所以即使是隻含兩個未知函數的線性方程組（或是二階線性方程）也未必能用初等方法求出通解。但可證明：如果已知(8)或(11)所對應的齊次方程的 k個線性獨立解，則該齊次方程即可被降為隻含 n- k個未知函數的線性方程組或線性 n- k階方程。由此可得重要結論：當 n=2時，如果方程

y"+p₁(x)y′+p₂(x)y=0　　 (13)

的一個非零特解 y ₁為已知，則可求出它的通解，且具有如下形式：

，

對 n=2時的方程(8)也成立類似的結論。但對

y"+p₁(x)y′+p₂(x)y=q(x)， 　(14)

僅當已知它的兩個特解時才能求出其通解;對於 n=2時的方程組(7)，也是如此。

　　方程(13)在應用數學中頗為重要，對它還有冪級數解法、廣義冪級數解法、定積分解法以及解的定性討論等內容。

　　伴隨微分方程　以A^*(x)記方程(8)中A(x)(可能為復方陣函數)的共軛轉置方陣，則稱

(15)

為(8)的伴隨微分方程。不難證明：(8)的任一基解方陣 φ( x)與(15)的任一基解方陣 Ψ( x)必滿足恒等式

Ψ^*(x)φ(x)=C，

C是（復的）常數方陣。

　　借助於(12)，易證線性齊次高階方程

L_ny=y⁽ⁿ⁾+p₁(x)y^(n-1)+…+p_ny=0 　 　(16)

的伴隨方程是

　　對於(16)和(17)成立拉格朗日恒等式：設p_i(x)在區間(α，b)上為n-i次連續可微，u(x)與v(x)在(α，b)上為n次連續可微，則有

，　　　　(18)

式中

。

　　把(18)在(α，b)的任一子區間(x₁，x₂)上積分，即得格林公式：

　(19)

這兩個公式對討論邊值問題很有用處。此外，由(18)還可看出：如果υ( x)是(17)的非零解，則ῡ( x)是(16)的積分因子。

　　常系數線性方程組與常系數線性高階方程　對於常系數一階線性非齊次方程組

　　　　　 　(20)

及其對應的齊次方程組

。　　　　　　　　(21)

按照前述線性一階常微分方程組的理論和矩陣函數的知識可得(21)的通解為

。　 　(22)

(20)的通解為

。　 (23)

為瞭實用上的需要，還須知道 e ^{A x}的具體表達式。

　　稱λ的n次代數方程│A-λE│＝0為(21)的特征方程，它的根為(21)的特征根。可以證明：若λ_i是特征根，Γ_i是對應的特征向量，則e

Γ _i是(21)的解；又若 λ _i≠ λ _j都是特征根，則 e Γ _i與 e Γ _j是(21)的兩個線性獨立解。因此，如果(21)有 n個不同的特征根 λ ₁， λ ₂，…， λ _n，則它的通解是

。

　　一般，當特征方程可能有重根時，可借助於線性代數中化矩陣為若爾當法式的理論來求(21)的通解。設非奇異方陣p使p^-1Ap=B具若爾當法式，則線性變換y=pz可以化(21)為

， (24)

其中

B _j為 n _j階若爾當塊， n ₁+ n ₂+…+ n _r= n。若記 B _j= λ _j E _j+ N _j則有

而(24)的通解為

(21)的通解是

　　 (25)

由此可見у的各個分量都具有

　 (26)

的形式， p _{k j}( x)是 x的次數不大於( n _j-1)的多項式，系數是 C ₁， C ₂，…， C _n的齊次線性組合。

　　若(20)與(21)是由線性常系數高階方程

y⁽ⁿ⁾+p₁y^(n-1)+…+p_ny=q(x)　　　 (27)

與

y⁽ⁿ⁾+p₁y^(n-1)+…+p_ny=0　　　 (28)

化來，則特征方程是

λⁿ+p₁λ^(n-1)+…+p_n-1λ+p_n=0，　 　　　(29)

而(26)中的 y ₁即(28)的通解。這時 A的右上角有一個 n-1階子行列式之值為1，故(29)的每一 i重根 λ ^*隻對應於一個 i階若爾當塊，而 y ₁中 前面的多項式必為 i-1次。又若(27)為實系數而有復特征根，則必成對出現。實用上常以 e ^αx cos β x與 e ^αx sin β x這兩實解代替兩個共軛復解 。

　　雖然從理論上說，(20)或(27)的特解可按公式(23)右邊的第二項來求，其中e^Att=pe^Bttp^-1。但在具體計算時是相當麻煩的。當q(x)或f(x)的各分量為多項式、正弦餘弦函數、指數函數、或三者的乘積之和時，不難得知對應的特解所應具有的形式，然後可用待定系數法來求特解。此外，也可采用符號方法或拉普拉斯變換法求特解。拉氏變換法是把常系數線性微分方程的求解問題化為線性代數方程或方程組的求解問題，求解時把初始條件一起考慮在內，不必先求通解再求特解，在工程技術中有廣泛的應用。此外，還有用留數理論求方程(20)或(21)解的方法。

　　歐拉方程和周期系數線性方程　這是兩種可化為常系數的變系數線性方程。二者有本質的不同，前者是切實可行的，後者隻有理論上的價值。歐拉方程是形如

xⁿy⁽ⁿ⁾+α₁x^(n-1)y^(n-1)+…+α_n-1xy′+α_ny=f(x)　　(30)

的方程，經自變量的代換 x= e ^t就可化為常系數，這時有

，

不難寫出所對應的、以 t為自變量的常系數線性方程。對比(30)更一般的方程

(αx+β)ⁿy⁽ⁿ⁾+α₁(αx+β)^(n-1)y^(n-1)+…+α_ny=f(x)可作代換αx+β=e^t。又對方程組(7)，隻要α_ij(x)=α_ijφ(x)對一切i，j，則用代換

總可把(7)化為常系數。

　　若(8)中的A(x)對x有周期ω，而Y(x)是一基解方陣，則Y(x+ω)也是，故Y(x+ω)=Y(x)C，C為非奇異方陣。由線性代數知有方陣B使C=e^ωB，令p(x)=Y(x)e^-Bx，則p(x)也有周期ω。若在(8)中作變換y=p(x)z，則z將滿足常系數方程

。 (31)

C的特征根 ρ _i與 B的特征根 λ _i之間存在關系 ， ρ _i與 λ _i分別稱為周期系數方程(8)的特征乘數和特征指數。由（31）易見這時(8)的任意解的每一分量是形如 e · φ _i( x)的函數的線性組合，其中 φ _i( x)為 x的多項式，系數是 x的周期為 ω的周期函數。但即使對於極簡單的馬蒂厄方程

y"+(λ+μcosx)y=0，　　 　 　(32)

對應的一階方程組的變換方陣 C也寫不出來，而隻知有 ρ ₁ ρ ₂＝1這個關系式。為研究(32)的解的性質，隻能在( λ， μ)平面中畫出無數條曲線（它們的方程隻能近似地確定），分此平面為無數個屬於兩種類型的區域，然後說明在兩類區域中或位於曲線上的點( λ， μ)，其所對應的方程(32)的解會具有一些什麼樣的性質。關於方程(32)以及比它更廣的很有實用價值的希爾方程

y"+φ(x)y=0，φ(x+π)=φ(x)

都有專著。

　　

參考書目

　葉彥謙編：《常微分方程講義》，第2版，人民教育出版社，北京，1982。

　R.貝爾曼著，張燮譯：《常微分方程的解的穩定性理論》，科學出版社，北京，1957。(R.Bellman，StαbilityTheory of Differentiαl Equαtions，McGraw-Hill，New York，1953.)

　E.L.Ince，Ordinαry Differentiαl Equαtions，Dover，New York，1944.