求解數學物理方程的近似方法，主要用於橢圓型邊值問題，W.裏茨於1908年對此做瞭開創性的工作。這類方法從變分原理出發，選定有限個試探函數φ1，φ2，…，φN，用它們的線性組合
構造近似解，從而把問題歸結為確定組合中的系數。
極小值原理 表達物理基本定律的一種形式，其表達可概括如下：給出一個依賴於物理狀態v（為一函數）的變量J(v)（數學上稱為泛函），同時給出J(v)的容許函數集V，即一切容許取的物理狀態，則真實的物理狀態就是V中使J(v)達到極小值的函數u。例如彈性力學中著名的極小能量原理的表述是：彈性體在外力作用下的平衡位移使總勢能達到極小。這裡，總勢能是位移函數的泛函。現討論小變形的均勻彈性膜，膜在區域Ω上的垂直位移用函數v(x，y)表示，假定在邊界∂Ω上膜固定在坐標平面上，即
， (1)
在外力
f(
x，
y)作用下彈性膜的總勢能為
(2)
它的容許函數集
V是滿足邊界條件(1)並使積分(2)存在的全體函數。由極小能量原理得出：彈性膜的平衡位移
u是
V中使總勢能(2)達到極小的函數，即
。 (3)
虛功原理 又稱虛位移原理，在力學中與極小能量原理同屬變分原理。它的一般表述是：平衡系的力對虛位移所作的虛功為零。在彈性膜的例子中，如果仍以u表示平衡位移，則虛功原理可表達為：對所有 υ∈V，u使
(4)
成立。變分問題(3)或(4)確定的平衡位移
u，也是泊松方程第一邊值問題的解，即
u滿足
式中Δ為拉普拉斯算子。
裡茨法 從與微分方程問題等價的極小值原理出發，選擇有限個試探函數φ1，φ2，…，φN，在它們的線性組合
中去找近似解。一般而言，試探函數
φ
j須屬於容許函數集
V。把
代入(2)，得到
(5)
式中
，
。
由多元微分學可推出極小解
的系數
C
j
*應滿足
(6)
故問題歸結為求解線代數方程組(6)。
加廖金法 從虛功方程(4)出發，把近似解表為試探函數φ1，φ2，…，φN的線性組合
，另選定函數ψ
1，ψ
2，…，ψ
N作為(4)中的虛位移，ψ
i也須滿足邊界條件(1)，稱為檢驗函數。將線性組合代入虛功方程(4)，得到
利用分部積分公式得
。
若取ψ
i=
φ
i，可看出方程組(7)即方程組(6)，也就是說這時裡茨法與加廖金法一致。由於檢驗函數ψ
i的選擇可不同於試驗函數
φ
i，另外，對非自共軛問題
lu=
f不存在等價的極小值問題，但可建立等價的廣義虛功方程
加廖金法仍可用，所以加廖金法是裡茨法的推廣，它比裡茨法更靈活和廣泛。
裡茨－加廖金法的有效使用依賴於試探函數和檢驗函數的選取，傳統的做法是選取代數或三角多項式之類的解析函數，其優點是，對光滑解隻需很少幾個φj，近似解就能達到很高的精度。在電子計算機出現之前，這種方法比較切合實際。但這樣選取的函數隻當區域Ω的形狀很特殊才能滿足給定的邊界條件，故在應用上受到很大限制。隨著電子計算機的出現，產生瞭有限元方法，它繼承瞭裡茨-加廖金法從變分原理出發的基本特點，但不用多項式之類的解析函數，而是用剖分插值的方法構造試探函數和檢驗函數，從而使方法具有極大的靈活適用性，能很好地處理復雜的幾何形狀、間斷介質以及奇性載荷等情況，在科學與工程的計算中獲得廣泛的使用。