中國清代數學傢、天文學傢、翻譯傢和教育傢，近代科學的先驅者。原名心蘭，字競芳，號秋紉，別號壬叔，浙江海甯縣硤石鎮人，生於嘉慶十六年，卒於光緒八年。
李善蘭自幼酷愛數學。十歲時學習《九章算術》。。十五歲時讀明末徐光啟、利瑪竇合譯的歐幾裡得《幾何原本》前六卷，盡解其意。後來，他到杭州應試，買回元代李冶的《測圓海鏡》、清代戴震（1724～1777）的《勾股割圓記》等算書，認真研讀；又在嘉興等地與數學傢顧觀光(1799～1862)、張文虎(1808～1888)、汪曰楨(1813～1881)以及戴煦、羅士琳(1774～1853)、徐有壬(1800～1860)等人相識，經常在學術上相互切磋。自此數學造詣日臻精深，時有心得，輒復著書，1845年前後就得到並發表瞭具有解析幾何思想和微積分方法的數學研究成果──“尖錐術”。
1852～1859年，李善蘭在上海墨海書館與英國傳教士、漢學傢偉烈亞力等人合作翻譯出版瞭《幾何原本》後九卷，以及《代數學》、《代微積拾級》、《談天》、《重學》、《圓錐曲線說》、《植物學》等西方近代科學著作，又譯《奈端數理》（即牛頓《自然哲學的數學原理》）四冊（未刊），這是解析幾何、微積分、哥白尼日心說、牛頓力學、近代植物學傳入中國的開端。李善蘭的翻譯工作是有獨創性的，他創譯瞭許多科學名詞，如“代數”、“函數”、“方程式”、“微分”、“積分”、“級數”、“植物”、“細胞”等，匠心獨運，切貼恰當，不僅在中國流傳，而且東渡日本，沿用至今。李善蘭為近代科學在中國的傳播和發展作出瞭開創性的貢獻。
李善蘭“尖錐術”書影
1860年起，他先後在徐有壬、曾國藩軍中作幕僚，與化學傢徐壽、數學傢華蘅芳等人一起，積極參與洋務運動中的科技學術活動。1867年他在南京出版《則古昔齋算學》，匯集瞭二十多年來在數學、天文學和彈道學等方面的著作，計有《方圓闡幽》、《弧矢啟秘》、《對數探源》、《垛積比類》、《四元解》、《麟德術解》、《橢圓正術解》、《橢圓新術》、《橢圓拾遺》、《火器真訣》、《對數尖錐變法釋》、《級數回求》和《天算或問》等13種24卷，共約15萬字。
1868年，李善蘭被薦任北京同文館天文算學總教習，直至1882年他逝世為止，從事數學教育十餘年，其間審定瞭《同文館算學課藝》、《同文館珠算金鍼》等數學教材，培養瞭一大批數學人才，是中國近代數學教育的鼻祖。
李善蘭生性落拓，潛心科學，淡於利祿。晚年官至三品，授戶部正郎、廣東司行走、總理各國事務衙門章京等職，但他從來沒有離開過同文館教學崗位，也沒有中斷過科學研究特別是數學研究工作。他的數學著作，除《則古昔齋算學》外，尚有《考數根法》、《粟佈演草》、《測圓海鏡解》、《九容圖表》，而未刊行者，有《造整數勾股級數法》、《開方古義》、《群經算學考》、《代數難題解》等。
李善蘭在數學研究方面的成就，主要有尖錐術、垛積術和素數論三項。
尖錐術理論主要見於《方圓闡幽》、《弧矢啟秘》、《對數探源》三種著作，成書年代約為1845年，當時解析幾何與微積分學尚未傳入中國。李善蘭創立的“尖錐”概念，是一種處理代數問題的幾何模型，他對“尖錐曲線”的描述實質上相當於給出瞭直線、拋物線、立方拋物線等方程
他創造的“尖錐求積術”。相當於冪函數的定積分公式
和逐項積分法則
他用“分離元數法”獨立地得出瞭二項平方根的冪級數展開式
結合“尖錐求積術”，得到瞭
π的無窮級數表達式
各種三角函數和反三角函數的展開式，以及對數函數的展開式
在使用微積分方法處理數學問題方面取得瞭創造性的成就。垛積術理論主要見於《垛積比類》，寫於1859～1867年間，這是有關高階等差級數的著作。李善蘭從研究中國傳統的垛積問題入手，獲得瞭一些相當於現代組合數學中的成果。例如，“三角垛有積求高開方廉隅表”和“乘方垛各廉表”實質上就是組合數學中著名的第一種斯特林數和歐拉數。馳名中外的“李善蘭恒等式”
自20世紀30年代以來，受到國際數學界的普遍關註和贊賞。可以認為，《垛積比類》是早期組合論的傑作。
素數論主要見於《考數根法》，發表於1872年，這是中國素數論方面最早的著作。在判別一個自然數是否為素數時，李善蘭證明瞭著名的費馬素數定理，並指出瞭它的逆定理不真。