黎曼ζ函數

　　複變函數

，其中 s= σ+ i t是複數， σ＞1。實變數情形的黎曼 ζ函數， L.歐拉早就討論過。利用算術基本定理可以證明：當 σ＞1時有恒等式

，　　 　(*)

式中 表對所有的素數求積。這一著名恒等式是L.歐拉提出的。復變數 s的函數 ζ( s)是 （G.F.）B.黎曼於1859年發表的“論不大於一個給定值的素數個數”著名論文中第一次提出的，他嚴格證明瞭：① ζ( s)可解析開拓到全平面，且滿足函數方程 ；②除瞭 s=1是一個殘數為1的一次極點外， ζ( s)在整個平面上是正則的；③當 σ＞1時， ζ( s)沒有零點；④當 σ＜0時， s=-2，-4，…，- 2 n，…是它的一級零點，這些零點稱為 ζ( s)的“無聊零點”。除此之外， ζ( s)沒有零點。⑤當0≤ σ＜1 時， ζ( σ)≠0；⑥ ζ( s)可能有的其他零點一定是都位於帶形區域0≤ σ≤1中的復零點，它們稱為“非無聊零點”。此外，他還給出瞭一些深刻的結果，而為後來的其他人所證明，例如，⑦在帶形區域0≤ σ≤1中 ζ( s)有無窮多個復零點，於1893年為 J.（-S.）阿達馬所證明。⑧設 T＞0，以 N( T)表 ζ( s)在矩形0≤ σ≤1，0＜ t＜ T中的零點個數，則有 ，於1905年為H.von曼格爾德特所證明。⑨建立瞭 ζ( s)的非無聊零點與π( x)（不超過 x的素數個數）之間的一個關系式，於1894年為曼格爾德特所證明。這一關系式揭示瞭素數定理與 ζ( s)的非無聊零點的分佈有密切關系，指明瞭研究素數定理的方向。

　　黎曼還在他的這篇著名論文中提出瞭一個影響深遠的猜測：ζ(s)的所有非無聊零點都位於直線Res＝1/2上，即所謂黎曼假設，簡記作 RH。1974年N.萊溫松證明瞭ζ(s)至少有多於1/3的零點位於直線Res=1/2上。1982年R.P.佈倫特等四人證明瞭ζ(s)在矩形0≤σ≤1，0≤t≤81702130.19中的零點，全部位於直線Res=1/2上，共有200000001個零點，都是一級零點。但是黎曼這個假設還沒有被證明或被否定。從黎曼假設可推出一系列重要的數論和函數論方面的結果，雖然都是些假設性的(其中有的在後來被證明)，但是這些結果指出瞭研究ζ(s)零點的重要意義和方向。1896年阿達馬和C.dela瓦萊·普桑各自獨立證明瞭ζ(s)在直線σ=1上沒有零點，並推出瞭素數定理。瓦萊-普桑又於1900年證明瞭存在一個正常數A₁，使得ζ(s)在區域

中沒有零點，並得到瞭有誤差項的素數定理。И．M．維諾格拉多夫於1958年證明瞭存在一個正常數 A ₂，使得對任意的 ε>0， ζ( s)在區域 中沒有零點，其中 A ₂和ε有關，並改進瞭有誤差項的素數定理。素數定理的進展是嚴格按照黎曼所提出的思想、方法和結果而取得的。關於 ζ( s)還有下面重要結果。1918年 G.H.哈代和 J.E.李特爾伍德證明瞭

。

1926年A.E.英厄姆證明瞭

。

　　他於1940年又證明瞭當1/2≤σ＜1時，

，

式中 T≥2，1/2≤ α＜1， N( α， T)表 ζ( s)在矩形 α≤ σ＜1，│ t│≤ T中的零點個數（見 素數分佈）。此結果已被不斷改進。通常把這類結果稱為零點密度定理。

　　黎曼首先提出用復變函數論特別是ζ(s)研究數論的新思想和新方法，開創瞭解析數論的新時期，並對單復變函數論的發展有深刻的影響。

　　

參考書目

　H.M.Edwards，RieMann's Zeta Function，Academic Press，New York，1974.

　華羅庚著：《指數和的估計及其在數論中的應用》，科學出版社，北京，1963。

　E.C.Titchmarsh，The Theory of the ReiMann ZetaFunction，Clarendon，Oxford，1951.

　A.lvić，The RieMann Zeta-Function，John Wiley &Sons，New York，1985.