勒貝格積分

　　黎曼積分的重要推廣，分析數學中普遍使用的重要工具。

　　19世紀的微積分學中已經有瞭許多直觀而有用的積分，例如黎曼積分（簡稱R積分）、黎曼-斯蒂爾傑斯積分(簡稱R-S積分)等。隻要相應的函數性質良好，用這些積分來計算曲邊形面積、物體重心、物理學上的功、能等，是很方便的。然而，隨著認識的深入，人們愈來愈經常地地需要處理復雜的函數，例如，由一列性質良好的函數組成級數所定義出來的函數，兩個變元的函數對一個變元積分後所得到的一元函數等。在討論它們的可積性、連續性、可微性時，經常遇到積分與極限能否交換順序的問題。通常隻有在很強的假設下才能對這問題作出肯定的回答。因此，在理論和應用上都迫切要求建立一種新的積分，它既能保持R積分的幾何直觀和計算上的有效，又能在積分與極限交換順序的條件上有較大的改善。1902年法國數學傢H.L.勒貝格出色地完成瞭這一工作，建立瞭以後人們稱之為勒貝格積分的理論，接著又綜合R-S積分思想產生瞭勒貝格-斯蒂爾傑斯積分（簡稱l－S積分）。20世紀初又發展成建立在一般集合上的測度和積分的理論，簡稱測度論。

　　黎曼積分的回顧　改進R積分的主要想法是要擴大可積函數類，使得原來是R可積函數，按新積分仍可積，且積分值相同，而許多原來不是R可積函數，能按新積分可積。若能合理地擴大可積函數類，也就必然能在積分與極限交換順序的條件上有某種改進。典型的例子是著名的狄利克雷函數

，式中 在有理數 r _n上取值為1，在[0，1]的其餘點上的值都是零，和式“ ”表示對[0，1]中一切有理數求和。顯然，每個 是 R可積的，積分值是零，然而 D( x)不是 R可積的，自然更談不上積分與級數求和交換順序。但若有新的積分，使得 D( x)可積，並且積分值是零，那麼，

按新積分就可交換積分與求和的順序。

　　對於［α，b］上有界實函數f(x)和［α，b］上任一分點組D：α=x₀＜x₁<…＜x_n=b，作大、小和數

\ n

稱 是 f( x)在［ x _{i -1}， x _i］上的振幅。記

。 f( x)在［ α， b］上 R可積的充分必要條件是 ，或等價地，對任何η>0， 。這一條件揭示瞭 R可積函數的本質。 D( x)在任何小區間[ x _{i -1}， x _i]上振幅ω _i=1，所以不是 R可積的。如果考慮將分點組改在 y軸上，例如，對於[ α， b]上的有界實函數 f( x)(｜ f( x)｜＜с)，在[-с，с]上取分組點 ，記

\ n

類似於 R積分，作和式 ，式中 ，｜ E _i｜表示集 E _i的“長度”。這時，相應於 D的大、小和數 與 的差 - ，將隨著 λ( D)趨於零而趨於零。這樣就可以避免因函數在任何[ x _{i -1}， x _i]上頻繁振動而出現不可積的情況瞭。但這也產生瞭另外的問題：對於復雜的函數 f( x)，相應的集 E _i是否一定有“長度”｜ E _i｜。因此，如要沿上述途徑改進 R積分，首先就要把過去隻對區間有意義的長度概念推廣到盡可能多的、復雜的集上去，這就導致瞭測度概念的出現。

　　勒貝格測度　簡稱l測度，它是區間的長度、矩形的面積、長方體的體積的推廣。

　　對於直線上的開集G，必存在惟一的有限個或可列個互不相交的開區間

，使得 。利用這個事實，規定 G的長度 。再利用開集的長度，定義復雜點集的“長度”，即測度。設 E是直線上任一點集，稱 ，是E的外測度。 m ^*(·)對直線上一切點集都有意義，但還不是長度的理想的推廣，例如它不滿足可加性(即對兩個互不相交集 E ₁和 E ₂， m ^*( E ₁∪ E ₂)並不一定等於 m ^*( E ₁)+ m ^*( E ₂))。如果一個點集 E具有以下性質：對任何自然數 n，存在開集 G _n，使得 G _nɔ E，並且 ，就稱 E是勒貝格可測集，簡稱 l可測集。 l可測集有很多等價定義方式）。直線上 l可測集全體記為 L。對於 L中的 E，定義 m( E)= m ^*( E)，稱 m(·)為(直線上的) l測度。 m(·)是區間的長度在復雜的一類集（即 L中的集）上的推廣。 L具有下列基本性質。

　　① 空集

、區間 I、開集 G、閉集都屬於 L，並且 m( )=0， m( I)=｜ I｜（｜ I｜表示區間長度）， m( G)=｜ G｜。這樣，有長度的集必在 L中，並且其 l測度就是長度。②可列可加性。如果{ E _n}是 L中一列互不相交的集，則 ，並且 。③如果 E， F∈ L，則 E-F∈ L。特別，當 Eɔ F，並且 m( F)＜∞時，

m(E\F)=m(E)-m(F)。

　　利用以上三個基本性質，又可推出L的一系列其他性質，例如④有限可加性。當E₁，E₂，…，E_n∈L時，

。再當 E ₁， E ₂，…， E _n互不相交時，

。⑤ E∈ L的充要條件是 E的餘集 E ^c(=(-∞，∞)- E)∈ L。⑥單調性。 E， F∈ L，當 Eɔ F時，必有 m( E)≥ m( F)。⑦次可列可加性。如果｛ E _n｝是 L中一列集，則 ，並且 。⑧單調極限交換性。設{ E _n}是 L中一列集，如果 E ₁⊂ E ₂⊂…⊂ E _n⊂…，則 ;如果 E ₁ɔ E ₂ɔ…ɔ E _nɔ…，且 m( E ₁)＜∞， 。

　　此外，L還具有⑨平移、反射不變性。如果E∈L，則

（ α是任一實數）都屬於 L，並且 m(- E)= m( E+ α)= m( E)。

　　利用上述性質可以舉出屬於L的一些較復雜的集。例如，單點集{α}可視為［α，α］，而且m(［α，α］)=0；直線上有理點全體Q是可列集，由②可知Q∈L，並且m(Q)=0；由③可知，[0，1]上無理點全體D∈L，並且m(D)=1；再由 ①、③、⑦可知，直線上任何一列閉集的並集、一列開集的交集都在L中。實際上，直線上一切波萊爾集都在L中。

　　L可測集的判別　判斷直線上集E是L可測集的常用方法有如下幾種。①對任何ε>0，存在閉集F⊂E，使得m^*(E-F)＜ε。②對任何ε>0，存在開集G，閉集F，使得GɔEɔF，且m(G\F)＜ε。③對直線上任何集h，都有

，這稱做卡拉西奧多裡條件。④僅當 m ^*( E)＜∞的情況， m ^*( E)=sup{ m( F)| F⊂ E， F是閉集｝。這些條件中任何一個都可作為 l可測集的定義。

　　勒貝格可測函數　因為不是直線上所有集都是L可測的，所以不是每個函數f(x)都具有下列性質：對任何y₁＜y₂，集E={x｜y₁≤f(x)＜y₂}都是l可測集。因此要 引入新的積分，還得引進可測函數概念。

　　設f(x)是定義在l可測集M上的有限實值函數，如果對任何с＜d，集E={x｜с≤f(x)＜d}是l可測集，那麼稱f(x)為M上的勒貝格可測函數，簡稱為l可測函數。常見的等價定義方式有：①對任何實數с，E={x｜f(x)≥с}是l可測集。②對任何實數с，E={x｜f(x)＜с}是l可測集。③對任何實數с，E={x|f(x)≤с}是l可測集。④對任何實數с，E={x｜f(x)>с}是l可測集。常用的一些函數，如[α，b]上連續函數、單調函數、階梯函數、隻有有限個或可列個不連續點的函數都是l可測的。[0，1]上的狄利克雷函數也是l可測的。

　　l可測函數有如下常用的基本性質。①代數性質。如果f，g是M上兩個l可測函數，那麼αf+βg（α、β都是實數），max(f，g)，min(f，g)，｜f｜，fg，

（當 f是非負函數）， f/ g(當 g不取零值)等都是 l可測函數。②極限性質。設{ f _n}是 M上一列 l可測函數，那麼 ， ， （隻要它們處處有定義）都是 l可測函數。③ l可測函數的結構(盧津定理)。如果 f是 M上的 l可測函數，那麼對任何ε>0，必有(-∞，∞)上連續函數 k，使得集 E=｛ x｜ f( x)≠ k( x)， x∈ M｝的 l測度 m( E)＜ε。它是用連續函數刻畫可測函數的深刻定理。

　　幾乎處處　“幾乎處處”是測度和積分理論中的重要概念。設P是與集M中的點有關的命題，如果使命題P不成立的點的全體E是l測度等於零的集，就稱命題P在M上關於l測度m幾乎處處成立。例如函數f、h在M上關於m幾乎處處相等，就是指集E={x｜f(x)≠h(x)}的l測度m(E)=0，記為

。依此就有狄利克雷函數 。又如函數列{ f _n}在 M上關於 m幾乎處處收斂於 f，是指集 的 l測度 m( E)=0，記為 。有關“幾乎處處”， l可測函數還有下列性質：如果 ，則 f與 h同時是 l可測或不可測函數；如果{ f _n}是 M上一列 l可測函數，且 ，則 f必是 M上 l可測函數。從積分的觀點來看，幾乎處處相等的函數可視為同一個函數。

　　幾乎處處收斂與一致收斂的差別顯然很大，但它們之間仍有如下重要聯系（葉戈羅夫定理）：設{f_n}是M上一列l可測函數，m(M)＜∞。如果

，那麼，對任何 δ＞0，必存在 M的 l可測子集 E _δ，使得 m( M- E _δ)＜ δ，並且{ f _n}在 E _δ上一致收斂於 f。

　　勒貝格積分定義和性質　設M是l可測集，m(M)＜∞，f是M上有界可測函數，|f(x)|＜C，(C是正的常數)。任取分點組D：-C=y₀＜y₁<…＜y_n=C，作和式

。其中， ， ( i=1，2，…， n)。記 。如果存在 S( f; D)= A，稱 f在 M上勒貝格可積，簡稱 l可積，又稱 A是 f在 M上的勒貝格積分，簡稱 l積分，記為 。當 M是區間[ α， b]時，也記 ，也常用 、 等來表示。

　　l積分具有如下性質。①當m(M)＜∞時，M上任何有界的l可測函數都是l可積的。特別，狄利克雷函數D(x)是l可積的，並且

。②[ α， b]上 R可積函數 f（它必是有界的）必是 l可積的，並且兩種積分值相同。③如果 E是 l可測集( m( E)可以無限大)， f是 E上非負 l可測函數，{ E _n}是滿足 ，並且 的一列 l可測集，又{ α _n}是單調上升趨向無限大的數列，記 ，那麼極限

與 { E _n}及{ α _n}的選取無關。另外，利用③可以定義一般的 l可測集 E上 l可測函數 f的 l積分：當 f是 E上非負 l可測函數時，如果③中極限 是有限值，就稱 f在 E上 l可積，並稱這個極限值是 f在 E上的 l積分，記為 。當 f是 E上一般 l可測函數時，作 ， f ⁺和 f ^-都是非負的，並且 f= f ⁺- f ^-。如果 f ⁺， f ^-都是 E上 l可積的，就稱 f在 E上 l可積，並稱 為 f在 E上的 l積分，仍記為 ，這就是直線上最一般的 l積分概念。 l積分還有如下常用性質。④線性性質。當 f， g在 E上 l可積時，對任何兩個實數 α和 β， αf+ βg在 E上必 l可積，並且 。⑤如果 在 E上成立，則 f在 E上 l可積的充要條件是 g在 E上 l可積。當 f可積時，有 。⑥單調性。如果 f， g在 E上都是 l可積的，並且 ，則 。特別，非負函數的 l積分必是非負值。⑦如果非負函數 f的積分 ，則必在 E上 。⑧絕對可積性。 f在 E上 l可積的充分必要條件是｜ f｜在 E上 l可積，並且有 。⑨可列可加性。設{ E _i}是一列互不相交的 l可測集，則 f在 上 l可積的充要條件是 f在每個 E _i上 l可積，並且 。當 f在 上 l可積時， 。⑩全連續性(絕對連續性)。設 f在 E上 l可積，則對任何ε>0，必存在 δ＞0，隻要 E中 l可測集 e滿足 m( e)＜ δ，就有 。⑪積分逼近。如果 f是 E上 l可積函數，則對任何ε>0，必有(-∞，∞)上連續函數 h，階梯函數 φ，使得

。

　　下面是經常用的三個重要極限定理。⑫列維引理。設{f_n}是E上一列l可積函數，且

。如果 ，則{ f _n}必在 E上關於 m幾乎處處收斂於某個 l可積函數 f，並且 。⑬法圖引理。設{ f _n}是 E上一列 l可積函數，如果有 E上 l可積函數 h，使得 ，且 ，則 必在 E上 l可積，並且 。⑭勒貝格控制收斂定理。設 { f _n} 是 E上一列 l可積函數，如果有 E上 l可積函數 F，使得 ( n=1，2，…)，且{ f _n}在 E上關於 m幾乎處處收斂於 f，則 f必在 E上 l可積，且 。上述三個定理是等價的，即其中之一成立，另兩個也必成立。⑭較⑫⑬更常用。

　　此外，l積分還有一個重要性質。⑮平移、反射不變性。如果f在(-∞，∞)上l可積，則對任何實數α，f(x+α)及f(-x) 都在(-∞，∞)上l可積，且

。積分的平移、反射不變性產生於 l測度的平移、反射不變性，它是建立調和分析理論的基礎。

　　在處理積分與極限交換順序問題上，l積分所要求的條件(⑫、⑬、⑭中的條件)比R積分所要求的條件（通常是一致收斂）弱得多，因此l積分遠比R積分有效。利用l積分的極限定理，還可進一步揭示R可積函數的本質：[α，b]上有界函數f(x)為R可積的充要條件是f(x)的不連續點全體是l測度為零的集。

　　度量收斂和積分平均收斂　在l積分理論中，除幾乎處處收斂這一個重要收斂概念外，還有兩個重要收斂概念。①設{f_n}是集E上一列l可測函數，如果存在E上函數f，使得對任何

，那麼稱{ f _n}在 E上度量收斂或依測度收斂於 f。度量收斂在概率論中，具有特別重要的地位。下面是度量收斂的常用性質：設{ f _n}、{ g _n}是 E上 l可測函數列，並且分別度量收斂於 f和 g，則 f和 g必是 E上 l可測函數，並且對任何數 α和 β， 在 E上度量收斂於 αf+ βg；如果進一步又假設 m( E)＜∞，則{ f _n g _n}在 E上度量收斂於 fg，而當 g _n( n=1，2，…)和 g都是幾乎處處不等於零的函數時， 在 E上度量收斂於 fg ^-1（在 g _n或 g取值等於零的點上可任意規定 的值）。度量收斂和幾乎處處收斂的關系如下：如果{ f _n}在 E上度量收斂於 f，那麼必有子序列 在 E上幾乎處處收斂於 f；當 m( E)＜∞ 時，{ f _n}在 E上幾乎處處收斂於 f必也度量收斂於 f；而{ f _n}度量收斂於 f當且僅當在任何子序列 中還可找到在 E上幾乎處處收斂於 f的子序列。②設 p＞0，如果 E上 l可測函數 f( x)的 是 l可積的，則稱 f( x)為 E上 p次 l可積函數。如果{ f _n}是 E上一列 p次 l可積函數，並且存在 E上函數 f，使得 ，則稱{ f _n}在 E上 p次（積分）平均收斂於 f。當 n=1，2時，分別簡稱為積分平均收斂、平方平均收斂。下面是 p次平均收斂常用的性質：設{ f _n}和{ g _n}在 E上分別 p次平均收斂於 f和 g，則 f和 g必在 E上 p次 l可積，並且對任何數 α和 β， 必在 E上 p次平均收斂於 αf+ βg；如果{ f _n}在 E上 p次平均收斂於 f，則必有子序列 在 E上度量收斂於 f，從而在 中又可以找到一個子序列關於 m幾乎處處收斂於 f，但逆命題不成立。

　　度量基本序列和p次平均基本序列　　類似於柯西基本數列，可以引入如下概念：設{f_n}是E上一列l可測函數(或p次L可積函數)，如果對任何ε>0，

- ，則稱{ f _n}為 E上的度量基本序列(或 p次平均基本序列)。和實數的完備性一樣，有如下的完備性定理：如果{ f _n}是 E上的度量基本序列（或 p次平均基本序列），則必存在 E上的 l可測函數(或 p次可積函數) f，使得{ f _n}度量收斂（或 p次平均收斂）於 f。

　　重積分和累次積分　類似於直線情況，從n維空間長方體的“體積”出發可以引出n維空間中一般點集的外測度、l可測集、l測度m、l可測函數、l積分等概念及其相應的性質。下面以二維空間的情形為例，設E是平面上點集，對每個數x，稱集E_x={y｜(x，y)∈E}為E在x的截口。同樣，稱E^y={x｜(x，y)∈E}為E在y的截口。如果E是平面上l可測集，那麼對於幾乎所有的x（或y），E_x（或E^y）是y軸上(或x軸上)的l可測集。如果f(x，y)是E上的l可測函數，那麼對於幾乎所有的x（或y），f_x(y)≡f(x，y)（或f^y(x)≡f(x，y))是E_x(或E^y)上l可測函數。對於平面上l可測函數f(x，y)，如果f是平面上l可積的(其積分記作

)，則對幾乎所有的 x， f _x( y)是 y軸上 l可積函數，而函數

(在 f _x( y)不可積的 x上，可任意規定 ψ( x)的值)是 x軸上 l可積函數，且

。對調 x和 y地位，類似地也有

dx。反之，如果對幾乎所有的 x，| f _x（ y）|=｜ f（ x， y）｜是 y軸上 l可積函數，並且

（對於｜ f _x( y)｜不可積的 x，可任意規定 φ( x)的值）也是 x軸上 l可積函數，則 f( x， y)是平面上 l可積函數。因此，得到

，這一結果被稱為關於重積分和累次積分的富比尼定理。簡單說，就是對 n維空間都成立。重積分存在時，兩個累次積分必存在，並且相等；反之，隻要它的絕對值函數的一個累次積分存在，則重積分也就存在。

　　勒貝格－斯蒂爾傑斯測度與積分　由黎曼積分發展出勒貝格積分，由黎曼－斯蒂爾傑斯積分就發展出勒貝格-斯蒂爾傑斯積分(簡稱為l-S積分)。設g(x)是(-∞，∞)上單調增加的右連續函數。對於區間I規定它的g長度g(I)如下：g((α，b])=g(b)-g(α)；g((α，b))=g(b-0)-g(α);g([α，b])=g(b)-g(α-0)；g([α，b))=g(b-0)-g(α-0)。特別，當g(x)≡x時，g長度就是普通長度。利用區間的g長度就可引入直線上開集G的g長度g(G)，以及直線上任何點集E的g外測度

。與引入 l可測集、 l測度一樣，隻要將 m ^*換成 g ^*，就可定義關於 g的 l- S可測集，其全體記為 L _g。對於 E∈ L _g，規定 ，稱 m _g為由 g( x)產生的 l- S測度。同樣，可以引入關於 g的 l- S可測函數和關於 g的 l- S積分。這些分別簡稱為關於 g的測度，關於 g的可測函數，關於 g的積分等。有關 l可測集、 l測度、 l可測函數、 l積分的一切性質除去平移、反射不變性以外，對相應的關於 g的可測集、測度、可測函數、積分也成立。

　　建立高維空間上的l-S積分理論，一般有兩種方式。①乘積測度形式。即設g₁(x)，g₂(x)是（-∞，∞）上兩個單調增加右連續函數，利用它們可以規定“左開右閉”矩形J=(α，b]×(c，d]的g₁×g₂面積：g₁×g₂(J)=g₁((α，b])g₂（(с，d]），以及有限個互不相交的“左開右閉”矩形J₁，J₂，…，J_n的並集

的 g ₁× g ₂面積： ；利用它們引入平面上任何點集 E的 g ₁× g ₂外測度

，而 J ₁， J ₂，…， J _n是互不相交的“左開右閉”矩形}。還可相應地引入 g ₁× g ₂可測集，測度 ，可測函數和積分。和 l積分一樣，對關於 g ₁× g ₂的積分也有重積分和累次積分的富比尼定理，隻要將 l積分的富比尼定理中 x軸、 y軸上的 l測度分別換成測度 、 即可。②一般形式。設 φ( x， y)是平面上的函數，固定一個變元時，它是另一個變元的右連續函數。如果對任何區間 J=( α， b]×(с， d]，值

，則稱 φ( J)為 J的 φ面積。由此又可引入平面上任何一個集的 φ外測度 φ ^*和相應的關於 φ的可測集、測度 m 、可測函數及積分。關於 φ的積分，一般說來沒有相應的富比尼定理。

　　波萊爾可測與勒貝格－斯蒂爾傑斯可測　如果給定直線上兩個（或兩個以上）單調增加右連續函數g₁(x)，g₂(x)，這時相應地就有關於g₁，g₂的可測集，可測函數，積分等。對於直線上的點集E(或函數f)，可能會發生E(或f)是關於g₁可測的，但不是關於g₂可測的。所以，在討論的問題中如果有幾個l-S測度、積分同時出現，就很不方便。這就要求有一集類（或一函數類），它一方面包含足夠豐富的集（或函數），能夠適應代數和極限運算的需要，另一方面它的每個集（或函數）對一切g來說都是可測的。適合這種要求的最理想的類就是波萊爾集類和波萊爾可測函數類（見貝爾函數）。

　　測度問題和不可測集　以直線而論，人們總希望直線上的某個測度，關於它的可測集越多越好。可測集多，意味著可測函數多，從而可積函數也多。從調和分析看，l測度平移不變性是建立調和分析基礎。從逐項積分看，總希望測度具有可列可加性（它與控制收斂等極限定理等價）。所謂測度問題就是直線上是否存在具有下面性質的測度：①具有可列可加性，②直線上所有子集都可測，③具有平移不變性，④［0，1］的測度是非零的有限值。這個問題已經完全解決。結論如下：去掉②、③、④中任何一條，滿足其餘三條的測度是容易舉例說明其存在的。①、②、③、④全都滿足的測度是不存在的，特別，直線上必存在不是l可測的集。如果將①換成①′有限可加性，則滿足①′、②、③、④的測度是存在的。