蘭徹斯特方程

　　又稱蘭徹斯特戰鬥理論或戰鬥動態理論，是應用數學方法研究敵對雙方在戰鬥中的武器、兵力消滅過程的運籌學分支。1915年，英國工程師F.W.蘭徹斯特在《戰鬥中的飛機》一文中，首先提出用常微分方程組描述敵對雙方兵力消滅過程，定性地說明瞭集中兵力的原理。1945年，J.H.恩格爾撰文肯定瞭蘭徹斯特定律的實踐意義。他曾經根據在第二次世界大戰中美軍攻佔日軍防守的琉璜島之役的作戰資料，計算瞭各方的消滅率係數，且用這兩個係數結合美軍的兵力增補率構成一個特殊的蘭徹斯特方程。它它的數值解相當準確地與該次作戰中的實際兵力變化進程相吻合。從此，這門理論得到不斷發展。它主要研究兩類問題：一是作戰對抗過程的描述，即根據典型的對抗態勢和火力條件建立兵力消滅過程的微分方程組及其解法，借以預測作戰進程和獲勝條件；二是戰術策略的優化，即尋找投入兵力、分配火力和支援保障行動等的最優策略序列。

　　蘭徹斯特方程　假設甲、乙兩方在t時擁有的現存實力（或者比率，即現存的與初始的實力之比）分別為x、y，且在單位時間內被對方一個實力單位所消滅的實力單位分別為α、b，稱作消滅率。雙方實力單位不能同時被消滅，而且從已被消滅的實力單位向現存實力單位轉移火力的時間為零。於是，假設單位時間內火力對抗次數為G(t)，則雙方的實力變化可表述為：

初始條件為 x(0)= x ₀， y(0)= y ₀。這就是蘭徹斯特方程。在引入甲方對乙方的損失比 E= α/ b後，由 ，立刻解得 。這個等式稱為蘭徹斯特平方律。顯然， x≥0， y=0表示甲方獲勝，且由平方律可知，甲方獲勝條件為： 。類似的，可寫出乙方獲勝條件。1940年，B.O.庫普曼求得上述微分方程的顯式表示式：

，

，

式中 ；chτ，shτ是τ的雙曲函數。

　　推廣型蘭徹斯特方程　為適應其他形式的對抗態勢和火力條件，又發展瞭蘭徹斯特方程的幾種推廣型式(初始條件一般不變)。

　　含自然損失與兵力補充率的蘭徹斯特方程　它可表述為

\n

式中 α、 β分別表示由於自然環境(包括敵方破壞的)條件引起甲、乙方每一實力單位的損失率， p， q分別表示各方實力的補充率。P.M.莫爾斯在《運籌學方法》一書中給出瞭常系數時的方程的解。

　　大威力消滅率的蘭徹斯特方程　現代武器不但殺傷力大，而且它給對方造成的實力遞減率既和投入的武器數量成正比，也和對方現存實力成正比（如化學武器）。這種方程可表述為

這裡 x、 y是現存實力比率，從而初始條件為 x(0)= y(0)=1，其解為

如果在方程的右端增添自然損失、補充實力和消滅率諸項，就得到瞭更一般的推廣。

　　這三類方程都是確定型的，或者說是平均性質的。

　　概率型蘭徹斯特方程　它是為分析作戰進程的狀態概率而建立的一類方程。一般形式是：假設甲方實力為x，乙方實力為y時，甲方獲勝的概率為p(x，y)，從而，乙方獲勝的概率為1-p(x，y);又實力單位損失屬於甲、乙方的概率分別為α(x，y)，b(x，y)，且雙方不可能同時損失，即α(x，y)+b(x，y)=1。於是，可建立遞推式

p(x，y)=α(x，y)p(x-1，y)+b(x，y)p(x，y-1)，

顯然， x＞0時， p( x，0)=1； y＞0時， p(0， y)=0。特別地，若令 α( x， y)= α， b( x， y)= b，以 p _t( x， y)表示雙方損失之和為 t( t≥0)時，甲方損失 x，乙方損失 y= t- x的損失狀態概率，則在用 p _t( x， y)代替 p( x， y)後，對於 x≤ x ₀， y≤ y ₀，上面的遞推式依然成立，其中 x ₀、 y ₀分別為雙方的初始實力。以上概率型方程經過均值關系的變換，可以推出確定型方程。

　　優化型蘭徹斯特方程　它是為選擇最優戰術決策提出的方程，比較典型的有火力分配問題。在最簡單的情況下，假設甲方擁有兩種實力，分別為y₁、y₂個單位，對乙方的消滅率各為b₁、b₂；乙方擁有實力單位x個，需要組成兩群按照φ、1-φ的比例分別對甲方的兩種y₁、y₂單位進行攻擊，消滅率各為α₁、α₂。問題是如何選擇分配率φ（它是時間序列），在雙方實力消滅過程滿足

\n

\ n

\ n

0≤φ≤1，y₁、y₂≥0

等諸條件下，使得在過程終止時 T，乙方的現存實力相對價值函數達到最大。式中 r ₁、 r ₂分別表示甲、乙方的實力補充率； r、 p、 q為價值系數； T為過程終止時間。這是研究蘭徹斯特方程的新近理論模型，反映瞭與控制理論結合的趨向。

　　蘭徹斯特方程理論雖有相當的進展，但由於作戰現象的復雜性，隻在大量重復、獨立運用同類火力和簡單條件下的作戰問題上取得瞭一些宏觀分析的成果。為瞭解決實用的需要，從20世紀60年代以來，計算機作戰模擬技術發展很快，可用於取得近似結果和驗證蘭徹斯特方程。它與蘭徹斯特方程的結合是今後的重要發展方向。

　　

參考書目

　P.M.Morse and G.E.Kimball，Methods of Operations Research，John Wiley &Sons，New York，1951.

　P.W.Zehna，et al.，Selected Methods and Maclels in Military Operations Research，U.S.Naval Postg-raduate School，Monterey，California，1972.