拉格朗日插值多項式是一種最常見的多項式插值法，也是一種最常用的逼近工具。設f(x)是定義在區間[α，b]上的函數，又設x1，x2，…，xn>是[α，b]上的n個互不相同的點。早在1795年J.-L.拉格朗日就證明：如果在點xK處的函數值yK=f(xK)(k=1，2，…，n)是已知的，則存在惟一的次數不高於n-1的代數多項式ln(f，x)使得
。
倘若記
，
則
l
n(
f，
x)有表達式
常稱
l
n(
f，
x)為
f(
x)的拉格朗日插值多項式，
為其結點組。若
f(
x)是個次數不高於
n-1的代數多項式，則
l
n(
f，
x)=
f(
x)。
l
n(
f，
x)的幾何意義是有且僅有一條
n-1次代數曲線通過平面上預先給定的
n個橫坐標互不相同的點。又稱
為拉格朗日插值的基本多項式。不論在理論上還是在實用上，拉格朗日插值多項式都是一種重要的逼近工具。假設
f(
x)在[
α，
b]上存在
n階導數，則
l
n(
f，
x)逼近
f(
x)的偏差有這樣的表達式
式中
ξ是[
α，
b]中某一與
x有關的點。當然，這裡對被逼近函數的要求太高，研究低度光滑函數的插值逼近是很重要的。
對於給定的結點組
記
常稱
λ
n(
x)為此結點組的勒貝格函數，
λ
n為其勒貝格常數。如果記
E
n
-1(
f)為次數不高於
n-1的代數多項式對連續函數
f(
x)的最佳逼近值，則
而且有
因此，應該選取使
λ
n盡可能小的結點組，或說讓諸結點
在[
α，
b]上均勻分佈是合理的。但事實並非這樣，即使對於函數
f(
x)=｜
2
x-
α-
b｜，此時相應的
l
n(
f，
x)也不能實現對
f(
x)的逼近。至於選擇其他結點組，僅要求函數連續也未必可行。因為G.費伯曾經證明，對於[
α，
b]上的任意一列結點組
，
n=1，2，…，都有[
α，
b]上的連續函數
f(
x)，使得相應的拉格朗日插值多項式序列
在[
α，
b]上不一致收斂於
f(
x)。此外，還有
因此，選擇使勒貝格函數λn(x)關於n的增長速度接近於lnn的結點組序列是人們所期望的。最常用的是在[-1，1]上取切比雪夫多項式Tn(x)=cos(narccosx)的零點全體
作為結點組。
其相應的勒貝格常數不超過
於是隻要函數
f(
x)合乎迪尼－李普希茨條件
則它的拉格朗日插值多項式
l
n(
f，
x)在
n→∞時，在[-1，1]上就一致收斂於
f(
x)。這裡 ω(
f，
δ)是
f(
x)的連續性模。用這種結點組的拉格朗日插值多項式逼近連續函數，其逼近度與最佳逼近值相比較，還有一個對數因子。如何修改插值多項式的構造以改善它的逼近性能，是人們所重視的問題。修改的辦法很多，常用的是由
С.Η.伯恩斯坦所提出的線性求和法。例如，令
x=cosθ(0≤θ≤π)，
定義
或令
，定義
如仍取
T
n(
x)的零點全體作為結點組，則存在絕對常數с，使得在［-1，1］上都有
\n
這說明，上述兩種多項式對於低度光滑函數都有良好的逼近性能。
代替有限區間上的一致逼近，也可以考慮積分平均逼近，以及無限區間上的逼近。代替切比雪夫多項式的零點，可以考慮用雅可比多項式的零點作結點。而在周期的情況下，代替代數多項式的插值逼近自然以三角多項式的插值逼近為宜。此時，用周期區間的均勻分佈的結點組是較合適的，可以建立類似於傅裡葉級數部分和逼近函數的結果。