庫默爾擴張

　　一種阿貝爾擴張，因首先由E.E.庫默爾研究而得名。阿貝爾擴張是代數數論研究的主要物件。庫默爾擴張和分圓域則是阿貝爾擴張的兩個重要類型。一個阿貝爾擴張K/k稱為庫默爾擴張，指的是存在一個正整數m使得：①域k的特徵ch(k)不能整除mm，而且k包含m次本原單位根ζ；②K/k的伽羅瓦群 Gal(K/k)的每個元素的階整除m。此時K/k又特別稱為指數是m的庫默爾擴張。以下考慮的都是在一個給定的滿足條件①的基域k上的一切指數為m的庫默爾擴張。用k^*表示k中非零元素乘法群，用k^m表示k^*中元素的m次冪構成的子群。

　　庫默爾擴張的子擴張是庫默爾擴張。任意多個庫默爾擴張的復合域還是庫默爾擴張。

　　在域k滿足條件①的前提下，則在k上添加k^*的一個元素α的m次根而得到根擴張

是一個指數為 m的庫默爾擴張，而且Gal( K/ k)是一個循環群。反之，任一指數為 m的循環庫默爾擴張 K/ k是一個根擴張 K= k( θ)， ，而且 θ可由拉格朗日的預解式求得。設[ K： k]= n，Gal( K/ k)=〈 σ〉，α為 K的任一個本原元素。 ξ為 k中任一個 n次本原單位根，於是預解式

中任一個非零的 θυ都可取作 θ。但 θ的取法不是惟一的。

　　任一庫默爾擴張K/k是一些循環庫默爾擴張

的復合域，其中 α取遍 k ^*的一個子集 S的元素。 K確定 K ^*的一個子群 ，則 K= k( P)， 。子群 P由這些條件惟一確定。令 h= P ^m， 表示所有根擴張 （其中 α∈ h）的復合域，則有

子群 h由上述條件惟一決定。反之，給定 k ^*的一個子群 h′使得 k ^m⊂ h′，則 是 k上的一個庫默爾擴張。令 ，則 這樣， k上庫默爾擴張 K和 k ^*的包含 k ^m的子群 h成一一對應，而且對應關系由 確定。

　　設K/k為任一庫默爾擴張，G=Gal(K/k)而且設P和h定義如上。對於σ∈G，λ∈P，有

定義映射 G× P→＜ ζ＞如下： 它滿足①( στ， λ)=( σ， λ)(τ， λ)，②( σ， λβ)=( σ， λ)( σ， β)，③( σ， P)=1⇔ σ=1，④( G， λ)=1⇔ λ∈ k ^*，每個 σ∈ G確定 P的一個特征ⅹ _σ使得ⅹ _{σ(λ)＝(σ，λ)}。而且Ker(ⅹ _σ) ⊇ k ^*，因而ⅹ _σ誘導出商群 P/ k ^*的一個特征。反之， P/ k ^*的每個特征ⅹ可以提升為 P的一個特征ⅹ′使得Ker(ⅹ′) ⊇ k ^*，而且ⅹ′決定 P的一個自同構 λ ⅹ′( λ)· λ，並且保持 k ^*的元素不動，這個自同構可以開拓成庫默爾擴張 K的一個 k自同構。所以 ，其中 表示 P/ k ^*的特征群。另一方面， P到 h的冪映射 α α ^m誘導出同構 ，最後得 。這個同構可以由雙線性映射 G× h→＜ ζ＞： 來實現，即每個 σ∈ G映到 h的特征

　　特別，若K/k是有限庫默爾擴張，則有

　　E.阿廷和O.施賴埃爾推廣瞭庫默爾擴張的理論。設k為一個特征p＞0的域，若K/k是阿貝爾擴張，其伽羅瓦群的指數是p，則稱K/k是指數為p的阿貝爾擴張，或阿廷-施賴埃爾擴張。令 β(X)表示X^p-X，β^-1(α)表示多項式β(X)-α的任一根。令β(k)={β(α)｜α∈k}，則β(k)是加法群k的一個子群。多項式β(X)-α在k上不可約的充分必要條件是α∈k，但α∉β(k)。

　　設K/k為一個p次阿貝爾擴張，Gal(K/k)=〈σ〉。則存在一個元素α∈K使得

令

則 K= k( θ)， θ為 的一根。反之，設 α∈ k但 α∉β( k)，則β( X)- α在 k上的分裂域是 k上一個 p次阿貝爾擴張。

　　設K/k是任一指數為p的阿廷-施賴埃爾擴張，G=Gal(K/k)。則K是一?I>p次阿廷-施賴埃爾擴張k(β^-1(α))的復合域，α∈S⊂k，S為k的一個子集。令T={α∈K｜β(α)∈k}，則T為K的一個加法子群，而且K=k(T)，β(T)⊂k⊂T。令N=β(T)，則N為k的一個加法子群。令k(β^-1(N))表示k(β^-1(α))（其中α∈N）的復合域，則有K=k(β^-1(N))，β(k)⊂N⊂k。反之，設N′為k的一個加法子群，且β(k)⊂N，則K′=k(β^-1(N′))是一個指數p的阿廷-施賴埃爾擴張。總之，k上指數p的阿廷-施賴埃爾擴張和k中包含β(k)的加法子群N成一一對應，而且對應關系由下式確定：K=k(β^-1(N))。

　　設K/k為任一指數p的阿廷－施賴埃爾擴張，G=Gal(K/k)，T、N定義如上，並設F_p為特征p的素域，定義G×T到F_p的映射(σ，α)=σ(α)-α。這是一個雙線性映射，而且(σ，T)=0⇔σ=1，(G，α)=0⇔α∈k。每個σ∈G確定T的一個特征

又誘導出商群 T/ k的一個特征。

　　反之，T/k的每個特征ⅹ可提升為T的一個特征ⅹ′。ⅹ′決定T的一個自同構α

α+ⅹ′( α)。這個自同構可以開拓成 K的一個 k自同構。所以 。 T到 N的同態映射 α β( α)誘導出同構 T/ k≌ N/β( k)。於是

。這個同構可由雙線性映射 G× N→ F _p：( σ， α)=( σ-1)β ^-1( α)來實現，即每個 σ∈ G決定 N/β( k)的一個特征

　　E.維特引進瞭一個特征p＞0的域k上的向量運算，從而得到維特向量環。E.維特利用這個向量環將E.阿廷和O.施賴埃爾關於指數p的阿廷-施賴埃爾擴張理論推廣到任意指數p^e(e≥1)的阿廷-施賴埃爾擴張上去。

　　關於數域上的庫默爾擴張的算術理論，在這裡僅介紹一個最簡單的情況。設k為一個數域，而且包含一個素數l次本原單位根ζ，又設

，但 ，P是 k的一個素理想。P在 K中的分解隻有三種情況：P在 K中仍然保持為素理想，稱之為惰性的；或者P在 K中等於一個素理想的 l次冪，稱之為分歧的；或者P在 K中分解成 l個不同素理想的積，稱之為分裂的。設主理想( α)含P的方冪為 P ^e。於是有下列結果：

　　若l新e，則P在K中分歧；若l｜e但P新(l)，則P在K內不分歧，此時可將α化為e=0的情況，於是，若還有同餘式X^c(n)≡α(modP)在k內有解，則P在K中分裂，否則P在K中為惰性的;設l｜e，且P｜(l)。此時首先將α化為e=0的情況。設主理想(1-ζ)含素因子P的方冪為P^r，則有：①若同餘式

在 k中有解，則P在 K內分裂。②若 在 k中無解，但 在 k中有解，則P在 K內是惰性的。③若 在 k中無解，則P在 K內分歧。