一種特殊的積分變換，是狄利克雷級數到積分的推廣。從已知一般可取複值的函數f(t)(0≤t＜+∞)，用下式定義的函數（如果下式中積分存在）
((1)
稱為
f(
t) 的拉普拉斯變換，或簡稱拉氏變換，式中
s=
σ+iτ可以是復數，
f(
t)稱為原像函數，
F(
s)稱為其像函數。為瞭強調
F(
s)是從
f(
t)經(1)式變換得來，也常記
F=Lf。
在一定條件下，從式(1)可以解出f(t)：
(2)
式中積分是沿著無窮長直線
Re
s=
σ進行的。式(2)稱為拉氏反變換，記作
f=
L
-1
F。
式(1)與式(2)稱為一對互為反演的公式，其成立有各種的充分條件。例如，設式(1)對於任何σ(=Res)>σ0絕對收斂（或在勒貝格意義下可積），這裡σ0為某常數，且f(t)在任何有限區間內是有界變差的，則式(2)對任何σ＞σ0成立，但已假定f(t)規范化，即
容易看出，如果(1)對於s0=σ0+iτ0收斂，則對一切s=σ+iτ，隻要σ＞σ0，它也收斂。因此F(s)在這裡是解析的，亦即，存在一個收斂橫坐標σc，使得F(s)在半平面Res＞σc中解析（除非σc=+∞）。這時，有以下求導公式
若滿足反演條件，這時有
換句話說
這樣，拉氏反變換就把像函數的求導運算變成瞭原像函數和(-
t)
p的乘積運算。
拉氏變換還有所謂卷積公式，把
叫做
f
1，
f
2的卷積，且
F
1=
Lf
1，
F
2=
Lf
2。這時有
F1·F2=L(f1*f2)。
關於fp(t)的拉氏變換，由分部積分法（在一定條件下）可得
即
因此，
f(
t)的常系數線性微分方程的初值問題就可化為有關
L(
f)的代數方程問題，而後者是極容易求解的。求出
L(
f)後，再利用拉氏反變換公式(2)，便可求得
f本身。這樣，拉氏變換就成為求解常微分方程的一個有力工具。同樣道理，用拉氏變換的方法，可以把含兩個自變量的偏微分方程化為常微分方程，或一般，把含
n個自變量的偏微分方程化為含
n-1個自變量的偏微分方程，使問題得以簡化。
以上說的是單邊拉氏變換，還有所謂雙邊拉氏變換
(3)
在一定條件下，有反演公式
(4)
式中с=Re
s取在使(3)絕對收斂之處。
此外，還可以在不同空間，例如l2(0，∞)內考慮拉氏變換。此時積分的收斂也就要在相應的極限意義下來理解，也有相應的一系列理論。另外，還可考慮更一般的拉普拉斯－斯蒂爾傑斯變換
(5)
拉氏變換概念還可推廣到廣義函數上。例如，對於著名的
δ函數，可定義其拉氏變換為
拉氏變換的理論可從傅裡葉變換轉化而來。
幾個簡單的函數的拉氏變換見表
幾個簡單的函數的拉氏變換
。
參考書目
河田龍夫著，錢瑞壯譯：《富裡哀變換與拉普拉斯變換》，上海科學技術出版社，上海，1961。(河田龍夫著：《Fourier變換とLaplace變換》，巖波，東京，1957。)
竇志著，張義良譯：《拉普拉斯變換的理論和應用導論》，科學出版社，北京，1966。(G.Doetsch，Einführung in Theorie und Anwendung der laplace-TransforMati-on，Birkhäuser Verlag，Basel und Stuttgart，1958.)
D.V.Widder，The laplace Transform，PrincetonUniv.Press，Princeton，1941.
D.V.Widder，An Introduction to Transform Theory，Academic Press，New York，1971.
G.Doetsch，Handbuch der laplace-TransforMation，Vol.1～3，Birkhäuser，Basel，1955，1956.