極值

　　一個函數的極大值或極小值。如果一個函數在一點的一個鄰域內處處都有確定的值，而以該點處的值為最大（小），這函數在該點處的值就是一個極大（小）值。如果它比鄰域內其他各點處的函數值都大（小），它就是一個嚴格極大（小）。該點就相應地稱為一個極值點或嚴格極值點。

　　極值的概念來自數學應用中的最大最小值問題。定義在一個有界閉區域上的每一個連續函數都必定達到它的最大值和最小值，問題在於要確定它在哪些點處達到最大值或最小值。如果不是邊界點點就一定是內點，因而是極值點。這裡的首要任務是求得一個內點成為一個極值點的必要條件。

　　對於可微函數f(x)，其導函數f′(x)的正負號標志著函數值的升降，因此極值點必須是導函數f′(x)的零點：

f′(x)=0。　　　(1)

比較這些零點和邊界點處的函數值，最大（小）的就是函數的最大（小）值。

　　多元函數f(x₁，x₂，…，x_n)的極值點也是每一變元x_i（其餘變元作為參變量時）的極值點，因而必須滿足相當於方程(1)的聯立方程組

　　　(2)

　　如果多元函數f(x₁，x₂，…，x_n)的最大值或最小值發生在邊界上，而後者由方程組

　　　(3)

確定，這時最大、最小值便成為在附加條件(3)之下的條件極值。這時極值點的求法，在函數 f和φ _j都連續可微的前提下，常用的是

　　拉格朗日乘子法：考慮函數

則函數 f( x ₁， x ₂，…， x _n)在條件(3)之下的極值點必須滿足同(2)一樣的聯立方程組

　　　(4)