類域論-百科詞條

　　研究數域上阿貝爾擴張的理論。它的基本思想是用基域的算術性質去刻畫它上面的阿貝爾擴張。設k是一數域，I是k的一切非零的分式理想構成的乘法群，I也記作l(k)。對於k上的任一阿貝爾擴張張K，存在I的一個狹義子群h與K對應，使得k的每個素理想P在K中分裂的充分必要條件是P屬於h。

　　D.希爾伯特於1898年至1899年間作瞭如下的猜想：設C_k是k的理想類群，於是存在一個惟一的阿貝爾擴張K/k適合下列條件：①K/k的伽羅瓦群G(K/k)≌C_k；②k中每個素理想在K中非分歧；③設k的素理想P在C_k中所代表的類的階為f。則f|h_k，h_k＝｜C_k｜。令h_k=g·f，於是P在K中分解成g個不同的素因子的積，它們對P的公共剩餘次數為f。

　　希爾伯特就h_k=2的情形給出瞭證明，以他的洞察力對一般情況作瞭如上的猜想。P.H.富特文格勒於1907年證明瞭如上的猜想。這個K/k被稱為希爾伯特類域。

　　在推廣希爾伯特類域的道路上，H.韋伯做瞭一步重要的準備工作，他在他的著作《代數學教程》第3卷中推廣瞭理想類群的概念。k的每個素理想P決定一類互相等價的P進賦值，這個等價類稱為k的一個有限素點，仍用P表示。此外，k還有r₁個到實數域R的實嵌入σ₁，σ₂，…，σ_r₁和r₂對到復數域C的共軛的復嵌入

決定出 k的 r ₁+ r ₂個阿基米德絕對值

如下：

，其中| |表示復數絕對值。由

決定的等價類稱為 k的無限素點，依次記作

，前 r ₁個稱為實素點，後 r ₂個稱為復素點。用 P表示 k的全部素點，用 P的元素作形式積

，其中 v _i≥0， μ _j≥0，而且隻有有限多個 v _i不為0。M稱為 k的一個整除子。所有整除子構成一個乘法么半群，而且是一個高斯半群。

稱為M的有限部分。

　　每個整除子 M如下定義I(k)的一個模M的束子群：元素α∈k^*(k^*=k-{0})稱為滿足下列乘法同餘式(*)α≡1(mod^×M)，是指①將理想(α-1)/M₀表成互素整理想的商U/

，要求

與 M ₀互素，而且② σ _i( α)>0對所有 μ _i＞0的實素點 P _infin;i。所有滿足(*)的 α生成的主理想( α)的集合，記作 S

，構成 l( k)的一個子群，稱為模M的束子群。當M為單位整除子時， S ₁= I即主理想子群。

　　用I

( k)= I

表示 I中由一切與 M ₀互素的整理想生成的子群。於是 S

⊂ I

而且 I

/ S

的階有限。 I的一個子群 h稱為嚴格意義下的理想群，是指存在 k的一個整除子M使得 S

⊂ h⊂ I

。以下說的理想群都是這種嚴格意義下的理想群。設 h ₁和 h ₂為任意兩個理想群，分別由整除子 M ₁和 M ₂所規定： S

⊂ h _i⊂ I

， i=1，2。如果( h ₁)

= h ₁∩ I

= h ₂∩ I

=( h ₂)

，那麼 h ₁和 h ₂稱為是等價的，記作 h ₁～ h ₂。於是，所有理想群分成一些等價類，包括理想群 h的等價類記作( h)。若屬於同一類的理想群 h ₁和 h ₂，分別由 M ₁、 M ₂所規定，則有 I

/ h ₁≌ I

/ h ₂。因而每個等價類( h)決定瞭一個惟一的商群，稱為理想類群。對每個等價類( h)，存在一個整除子 F使得( h)包含一個由 F規定的理想群，而且若一個由整除子M規定的理想群屬於( h)，則 F整除M。 F由( h)惟一決定，稱為( h)的導子。( I)的導子為1。

　　高木貞治在1920年發表的文章中，應用H.韋伯的理想類群，成功地推廣瞭希爾伯特的結果，並且建立瞭完整的類域論。設K/k為數域k上一個n次伽羅瓦群擴張，G為它的伽羅瓦群。k的一個有限素點P稱為在K中分歧，是指素理想P在K中分歧；k的一個實素點P^∞稱為在K中分歧，是指與P^∞對應的k的實嵌入σ在K上的每個開拓都是復嵌入。對於任一σ∈G和K的任一分式理想U，令

。設B為 K的一個素理想，且位於 k的素理想P之上，令B對P的剩餘次數為 f。則

_/ _k(B)= P ^f。令

_/ _k( I( k))={

_/ _k(U)|U取遍 K的非零的分式理想｝。高木貞治得到以下的重要結果：

　　① 基本定理　設K/k為數域k上一n次阿貝爾擴張，則存在k的一個整除子M，僅含在K內分歧的素點(有限或無限)作為素因子，使得理想群h=

_/ _k( I

(K)) S

在 I

( k)內的指數為 n。

　　② 分歧定理　設(h)的導子為F，則K的一個素點P在K內分歧的充分必要條件是P｜F。

　　③ 同構定理　K/k的伽羅瓦群與I

( k)/ h同構。

　　④ 分解定理　設P為k的與F互素的任一素理想;設h_F∈(h)為由F規定的理想群；設f是最小正整數使得P^f∈h_F，則P在K中分解成

個素理想的積。

　　⑤ 存在定理　設h為k的任一理想群，由整除子M所規定，指數(I

( k)： h)= n。則存在一個 n次阿貝爾擴張 K/ k使得 h=

_/ _k( I

( K)) S

。

　　於是，在k上有限阿貝爾擴張K/k和k的理想群（等價類）之間建立瞭一個一一對應。K/k稱為對應於h的類域，同時h稱為對應於K/k的類群。(h)的導子稱為K/k的導子。

　　E.阿廷於1927年證明瞭著名的一般互反律，設K/k為數域k上一個n次阿貝爾擴張，G(K/k)為它的伽羅瓦群，O為K的整數環。設P為k的任一個在K中不分歧的素理想，Z為P在K中的一個素因子B的分解群，Z包含一個對應於B的弗羅貝尼烏斯置換σ使得α^σ≡α

P(modB)， α∈ O，其中 N

表示P的絕對范數。這個 σ與B的選取無關，由P惟一決定，因而可記成

，稱為阿廷符號。它還可以推廣如下：設

是 k的任一個非零分式理想， P _i(1≤ i≤ m)在 K中都不分歧，則定義

。

　　阿廷互反律　設K/k為數域k上一個n次阿貝爾擴張，δ為它的判別式，I_δ的定義如前，則有：① 阿廷映射

是 I _δ到 K/ k的伽羅瓦群 G( K/ k)的一個滿同態。② 存在 k的一個整除子M，僅以在 K中分歧的素點為它的素因子，使得 S

⊂Ker(ω)(Ker(ω)表ω的核)，從而Ker(ω)=

_/ _k( I

( K)) S

。適合 S

⊂Ker(ω)的一切整除子M的最大公因子 F就是 K/ k的導子。

　　同構定理和分解定理是阿廷互反律的直接推論。

　　除瞭存在定理⑤以外，還有一個具有給定的局部性質的有限阿貝爾擴張存在的定理，就是1932年發表的格魯恩瓦爾德定理。王湘浩於1948年發現該定理包含的錯誤，並於1950年給出瞭正確的更一般的陳述和證明。從此以後人們稱之為格魯恩瓦爾德－王定理。它是著名定理“數域上中心單（結合）代數為循環代數”成立的主要根據之一。

　　有理數域Q上的分圓域是類域的一個雛形。設K＝Q(ζ)為m(m＞1)分圓域，ζ為一個m次本原單位根，當m為偶數時，假定4│m。此時K是Q上φ(m)次阿貝爾擴張，它的伽羅瓦群

， K的每個自同構 σ由它在 ζ上的作用惟一決定。若 ζ ^σ= ζ ^r， σ可記成 σ _r，( r， m)=1， Q隻有一個無限素點即實素點 p ^∞。在 K內分歧的素點恰由 m的素因子和 p ^∞組成。設 p是任一個與 m互素的素數，P為 p在 K中的一個素因子， f為P對 p的剩餘次數。於是 N _K _/ _Q(P)= p ^f，而且對應於 p的弗羅貝尼烏斯置換是 σ _p： ζ捚＝ ζ ^p。於是

。其次， Q的每個非零分式理想是一個主理想，而且可由一個正有理數生成，與 m互素的分式理想可寫成

，其中每個素數 p _i與 m互素， v _i∈ Z。於是

。

由此可知，( α)屬於阿廷映射ω 的核，其充分必要條件是

。所以

。這就是有理數域上 m分圓域的互反律。

　　C.謝瓦萊於20世紀30年代末引進瞭伊代爾(idele)概念以替代理想概念，從而將有限阿貝爾擴張的阿廷映射推廣到任意（有限或無限）阿貝爾擴張上去。對於數域k的每個素點P，有一個局部域

(局部緊致拓撲域)， k

的乘法群 k

是局部緊致交換群。除有限多個無限素點外，對每個有限素點P， k

有一個極大緊子群即 k

的單位群 U

。作直積 ∏ k

，它的元素 α可寫作 α=( α

)， α

∈ k

。如果 α除去有限多個分量(其中包括全部無限素點上的分量)外，其餘每個分量都是 k

的單位，那麼 α稱為一個伊代爾。所有伊代爾集合是∏ k

的一個子群，記作 J _k。 J _k顯然是所有這種子群

的並集，其中 S是 k的素點集的任一個包含全部無限素點的有限子集。因而，由∏ k

的乘積拓撲誘導出的 J _k的拓撲是局部緊的。若 α=( α

)的所有分量 α

= α∈ k ^*，則 α顯然是一個伊代爾，稱為主伊代爾。所有主伊代爾構成 J _k的一個子群，且與 k ^*同構，仍記作 k ^*。於是商群 C _k= J _k/ k*，稱為伊代爾類群。

　　自從H.哈塞利用局部域上的佈饒爾群以建立局部類域論以來，人們逐步認識到群的上同調理論和類域論之間的聯系，經過許多人的努力，應用群的上同調理論，對類域論作瞭系統處理。首先建立局部類域論，然後由局部類域論組織成整體類域論。設K/k為數域k上任一有限阿貝爾擴張，G為它的伽羅瓦群。對k的每個素點P，取定K的一個素點B使得B|P。K