數學中常用的一種積分。它是黎曼積分的推廣。通常利用黎曼積分可以計算幾何形體的面積、體積，物理和力學中的功、能，物體的重心和轉動慣量以及更一般的矩等等。例如，設[α，b]上分佈瞭一些有品質的物質（或電荷）。如果分佈是非均勻的，但有密度，並且密度函數ρ(x)在[α，b]上是連續的或黎曼可積的，那麼物質（或電荷）對[α，b]外外某點c的矩（或電位）可用形式為
的黎曼積分來計算。如果計算
n次矩，
f(
x)便是(
x-
c)
n;如果計算位能，
f(
x)便是
。然而，當分佈根本沒有密度函數時，黎曼積分對上述問題就失效瞭。因此，數學上有必要引入下面更廣泛的積分概念。
設f(x)，g(x)是[α，b]上兩個函數（可以是復值函數）。對[α，b]上任何分點組
，作和式
，
式中
，記
，如果存在
S，使得
，則稱
f(
x)關於
g(
x)在[
α，
b]上是黎曼－斯蒂爾傑斯可積的，並稱
S為
f(
x)關於
g(
x)的黎曼－斯蒂爾傑斯積分(簡稱
R-
S積分)。通常記
S為
。特別，當
g(
x)=
x+с（с是常數）時，上面的積分
S就是
f(
x)的黎曼積分。又如果
g(
x)表示[
α，
x]上總質量或總電荷量，那麼
g(
x
i)-
g(
x
i-1)便是(
x
i-1，
x
i]（當
x
i-1=
α時，應是[
x
i-1，
x
i]）上總質量或總電荷量。因此，上述新積分就能用來計算非均勻分佈，特別是密度函數不存在時非均勻分佈關於某點с的矩或電位。
R-
S積分是建立一般的曲線積分的基礎。
黎曼－斯蒂爾傑斯積分有下面常用性質。
① 如果f(x)、g(x)有一個公共的不連續點，則積分不存在。
② 線性性質。設α，β是任何兩個復數，如果f(x)關於g1(x)和g2(x)可積，則
如果
f
1(
x)、
f
2(
x)關於
g(
x)都可積，則
③ 區間可加性。f(x)關於g(x)在[α，b]上可積，當且僅當對任何с∈[α，b]，f(x)關於g(x)分別在[α，с]，[с，b]上都可積，此時
。
④ 分部積分公式。如果f(x)關於g(x)可積，則g(x)關於f(x)也必可積，並且
。
⑤ 如果f(x)是[α，b]上連續函數，g(x)是[α，b]上有界變差函數，則f(x)關於g(x)可積。
⑥ 設f(x)是[α，b]上有界函數，g(x)是[α，b]上的有界變差函數，ωi表示f(x)在[xi-1，xi]上的振幅，即
，
則
f(
x)關於
g(
x)可積當且僅當對任何給定的 η>0，和對任何分點組
，
式中
。
⑦M-l不等式。如果f(x)是有界函數，g(x)是有界變差函數，並且f(x)關於g(x)可積，則
，
式中
是
g的全變差（見
有界變差函數）。
⑧ 如果g(x)是[α，b]上有界變差函數，{fn(x)}是[α，b]上關於g(x)可積的一列有界函數，並且一致收斂於f(x)，則f(x)必關於g(x)可積，並且
。
⑨ 設f(x)是[α，b]上連續函數，{gn(x)}是[α，b]上一列有界變差函數，且處處收斂於函數g(x)，又設存在常數K，使
，那麼
f(
x)關於
g(
x)可積，且
。
隨著黎曼積分發展成勒貝格積分，黎曼-斯蒂爾傑斯積分也發展成勒貝格－斯蒂爾傑斯積分(見勒貝格積分)。