李特爾伍德－佩利理論-百科詞條

　　關於l^p(p＞1)空間中傅裏葉級數的理論，1931～1940年由J.E.李特爾伍德、R.E.A.C.佩利首創，後由A.贊格蒙、J.馬欽凱維奇等加以發展。它包括以下兩個方面。

　　① 引進兩個重要函數（或運算元）：

式中 f（ z）= f（ r e ^ix）是單位圓｜ z｜＜1內的解析函數， f′( z)是 f( z)的導函數。主要結果是：設 p＞1，那麼存在著僅與 p有關的常數 A _p， B _p，使

\ n

成立。式(1)和(2)的第一個不等式，還要加上 f(0)=0的條件。

　　② 三角級數的二進分塊。假設φ(x)為實值函數，並且φ(x)∈l^p(0，2π)，又設φ(x)的傅裡葉級數

。 (3)

把(3)分成如下的三角多項式塊：

叫做三角級數(3)的二進分塊。

　　從(1)可以得到以下的結論：存在常數A_p(p＞1)，使

不等式(5)是研究 l ^p空間中傅裡葉級數的基本工具，它的作用相當於刻畫 l ²(0，2 π)空間特征性質的帕舍伐爾等式：設 f∈ l ²（0， 2 π），又設 f的傅裡葉級數

那麼

(6)

反之，一個三角級數

的系數滿足條件

時，它就是 l ²(0，2π)空間中某函數的傅裡葉級數。這就是說，三角級數系數的模的大小，能夠確定它是否屬於 l ²(0，2π)。對 l ^p(0，2π)， p≠2，類似的問題，復雜得多瞭。下面是一個例子。

　　任取一個函數f₀(x)∈l^p（0，2π）(1＜p＜2)，並設

，假如

那麼可以證明，當隨機地取±號時，級數

“基本上”(以概率1)都不是傅裡葉級數。這說明，不可能期望以三角級數的系數的大小來刻畫 l ^p( p≠2)空間中函數的特征性質。李特爾伍德－佩利理論正是從這個目的出發去研究 l ^p空間的。上述①中的 g、 g ^*函數，以及②中對三角級數的二進分塊，都是研究 l ^p空間的重要工具。

　　李特爾伍德-佩利理論的建立，在很大程度上依靠瞭復變函數論中解析函數的許多重要性質。但是，多元復變函數論的情況很不一樣，影響瞭李特爾伍德-佩利理論在高維空間的推廣。1952年出現瞭考爾德倫－贊格蒙研究高維空間奇異積分的奠基性論文，其中采用的實變函數論方法，對研究高維空間很有成效。在他們影響下，E.M.施坦把李特爾伍德-佩利理論的g函數與Η.Η.盧津的面積函數s推廣到高維空間，並建立瞭相應的定理。1961年，斯坦又把g^*函數推廣到高維空間，他是利用調和函數來建立的，這些函數已經成為高維空間中傅裡葉分析的基本工具。

參考書目

　E.M.Stein，Singular Integrals and Differentia-bility of Functions，Princeton Univ.Press，Princeton，1970.