線性運算元

　　出現在各個數學領域中具有線性性質的運算（例如線性代數中的線性變換；微分方程論、積分方程論中大量出現的微分、積分運算、積分變換等）的抽象概括。它是線性泛函分析研究的重要物件。關於線性運算元的理論不僅在數學的許多分支中有很好的應用，同時也是量子物理的數學基礎之一。中國物理學界習慣上把運算元稱為算符。

　　線性運算元與線性泛函　設x、<Y是兩個（實數或復數域上的）線性空間，T是x到Y的映射。T的定義域和值域分別記為D(T)、R(T)。如果對任何數α、β和x₁、x₂∈D(T)，滿足αx₁+βx₂∈D(T)，並且

，

則稱 T是以 D（ T）為定義域的 x到 Y的線性算子。特別當 D( T)= x， Y是實數域或復數域時，稱 T是 x上的線性泛函。例1，設 x＝ C ¹[0，1]（[0，1]上連續可微函數全體）， Y＝ B[0，1]([0，1]上有界函數全體)，定義

，

則 T是 x到 Y的線性算子。例2，設 x= C[ α， b]([ α， b]上的連續函數全體)， K( t，s)是[ α， b]×[ α， b]上的二元連續函數，定義 ，則 T是 x到 x的線性算子。例3，設 x= C[ α， b]，則 ， T ₂ x= x( t ₀)( t ₀是[ α， b]中取定的一個點)都是 x上的線性泛函。

　　線性算子的運算　設T₁、T₂是x到Y的線性算子，它們的定義域分別是D(T₁)、D(T₂)。對任一數α，規定αT₁表示以D(T₁)為定義域，而對任何x∈D(T₁)，(α T₁)x=α(T₁x)的算子;規定T₁+T₂表示以D(T₁)∩D(T₂)為定義域，而對任何

的算子。易知α T ₁（稱 T ₁的α倍）， T ₁+ T ₂(稱 T ₁與 T ₂的和)仍是線性算子。又設 T ₃是以 D( T ₃)為定義域的 Y到Z的線性算子，規定 T ₃· T ₁（也記作 T ₃ T ₁）表示以

為定義域而對任何 的算子。易知 T ₃· T ₁（稱 T ₃與 T ₁的積）也是線性算子。

　　逆算子　設T是以D（T）為定義域的x到Y的線性算子，若從x≠0可推出Tx≠0，即T是單射，則T有逆映射T^-1：T^-1(Tx)=x₀。T^-1是一個以R（T）為定義域的線性算子，在泛函分析中常稱T^-1為T的逆算子。

　　單位算子　設T是x到x的線性算子，如果對任何x∈x，Tx＝x，稱T是x的單位算子，或恒等算子，常用I_X表示，或簡記為I。T^-1是T的逆算子當且僅當

。

　　連續線性算子　又稱有界線性算子，泛函分析研究的一類重要算子。設x和Y是賦范線性空間，T是x到Y的線性算子（或線性泛函）並且D(T)=x。如果對任何收斂序列x_n，都有

，稱 T是 x到 Y的連續線性算子（或連續線性泛函）；如果 T把 x中任何有界集 M映成 Y中有界集，稱 T是有界線性算子(或有界線性泛函)。線性算子 T是連續的當且僅當它是有界的。例1中，當 x上定義范數 ， Y上定義范數 時，那麼算子 是 C ¹[0，1]到 B[0，1]的連續線性算子。例2和3中，當 C[ α， b]上定義范數 時，例2中算子

和例3中的泛函 T ₁和 T ₂分別是連續線性算子和連續線性泛函。對於 x到 Y的有界線性算子（或有界線性泛函） T，稱

是 T的范數。有界線性算子（或有界線性泛函）的范數是一個重要的量。 x到 Y的有界線性算子全體按這個范數成為一個賦范線性空間，記為B( x→ Y)。B( x→ x)也簡記為B( x)。當 Y完備時B( x→ Y)是一個巴拿赫空間。

　　算子序列的收斂　設x和Y都是賦范線性空間，{T_n}是x到Y的有界線性算子序列，T是x到Y的有界線性算子。如果

，則稱{ T _n}按算子范數收斂（或一致收斂）的，並稱 T是{ T _n}的按算子范數收斂（或一致收斂）的極限。如果對任何 x∈ x，成立

，

則稱{ T _n}強收斂，並稱 T是{ T _n}的強極限。如果對任何 x∈ x及 Y上的任何連續線性泛函 f，成立

，

則稱{ T _n}弱收斂，並稱 T是{ T _n}的弱極限。顯然，一致收斂序列必然是強收斂的，強收斂序列必定是弱收斂的，並且有相同的極限。當 x和 Y都是有限維空間時，這三種收斂性是等價的；而在無限維空間，它們是不等價的。如果{ T _n}是連續線性泛函序列，那麼它隻有兩種收斂性，且相應於算子序列的一致收斂、強收斂常稱為泛函的強收斂、弱 ^*收斂。

　　微分算子和積分算子　　微分算子（積分算子）是從某一個由函數構成的賦范線性空間到另一個由函數構成的賦范線性空間的微分（或積分）運算的泛稱。例4，設x是希爾伯特空間

， 算子 便可作為以 D為它的定義域的 x到 x的微分算子；例5， x是

便可作為以 x為定義域的 x到 x的積分算子。更復雜的微分算子或積分算子是指高維空間上的高階微分或積分運算（包括邊界條件和初始條件等）以及它們的常系數或變系數的線性組合。

　　稠定閉算子　無界線性算子理論中一類重要的算子。設x、Y是賦范線性空間，T是x到Y的線性算子。如果定義域D(T)在x中稠密，即D(T)的閉包

，則稱 T是稠定算子。如果由{ x _n}⊂ D( T)， x _n→ x與 T x _n→ y必可推出 x∈ D( T)，且 T x= y，則稱 T是閉算子。全巴拿赫空間上的閉算子必是有界的(見 巴拿赫空間)。一個既稠定又閉的算子稱為稠定閉算子。在例5中的微分算子 便是 L ²[ α， b]上的稠定閉算子，但它不是有界的。

　　共軛算子　設T是x到Y的稠定線性算子，記D(T^*)為適合下面條件的y^*的全體：y^*∈Y^*（Y的共軛空間），存在x^*∈x^*，使得一切x∈D(T)，有

，這裡( T x， y ^*)，( x， x ^*)分別是 y ^*( T x)， x ^*( x)的形式寫法。由於 T是稠定的，對 y ^*∈ D( T ^*)隻有惟一的 x ^*滿足上式。作以 D( T ^*)為定義域的線性算子 ，稱 T ^*是 T的共軛算子。特別，如果 T是 x到 Y的有界線性算子，則 T ^*是 Y ^*到 x ^*的有界線性算子，並且‖ T‖=‖ T ^*‖。共軛算子是矩陣的轉置矩陣概念的推廣。當 x， Y都是希爾伯特空間時，從希爾伯特空間上的線性連續泛函的裡斯表示定理知道， Y ^*＝ Y， x ^*＝ x，而上面的形式寫法( T x， y ^*)，( x， x ^*)這裡分別是 Y和 x中的內積。因此，希爾伯特空間中共軛算子概念是矩陣的關聯矩陣（即轉置共軛陣）概念的推廣。所以巴拿赫空間中共軛算子和希爾伯特空間上共軛算子的概念略有差異。

　　下面是x與Y都是希爾伯特空間時的幾種常用的算子類。

　　對稱算子和共軛算子　設T是希爾伯特空間H上的稠定線性算子，如果T⊂T^*，即D(T)⊂D(T^*)，且對任何x∈D(T)，Tx=T^*x，則稱T是對稱算子，特別當D(T)=D(T^*)(從而T＝T^*)時，稱T是自共軛算子，也稱自伴算子。如果T是自共軛算子，而且對任何x∈D(T)，(Tx，x)≥0，稱T為正算子，記為T≥0。例4中的微分算子

是對稱算子，並且

，

但如果將例4中微分算子 T的定義域改為

(它與例4中的 D隻是邊界條件不同)，這時 T便是自共軛算子。對自共軛算子已經有瞭較深入的研究，建立瞭譜分解定理。它的理論已被廣泛地應用於其他數學分支。在量子物理中一切物理量都是用某個希爾伯特空間（物理體系的態矢量空間）上的自共軛算子來描述的，因此自共軛算子在量子物理中占有特別重要的地位。應該指出，雖然對稱算子和自共軛算子僅在於 D（ T ^*）⊂ D（ T）和 D( T ^*)= D( T)的區別，但是它們在某些基本性質上是有很大區別的。

　　保距算子和酉算子　設U是希爾伯特空間H上的線性算子，並且D(U)是閉線性子空間，如果對任何x∈D(U)，‖Ux‖=‖x‖，稱U是保距算子或稱保范算子。特別當D(U)=H=R(U)時，稱U是H上的酉算子。酉算子另外的等價定義是U^*U=UU^*=I。

　　對稱算子(或自共軛算子)與保距算子(或酉算子)的關系極為密切。如果T是對稱算子(或自共軛算子)，那麼線性算子U_t=(T-iI)(T+iI)^-1，(D(U_t)=R(T+iI))必是保距算子(或酉算子)並且1不是U_t的特征值，稱U_t是T的凱萊變換。反之，若U是不以1為特征值的保距算子(或酉算子)，那麼，線性算子

必是對稱算子（或酉算子），也稱 T _U是 U的凱萊變換。

　　正常算子　也稱正規算子。希爾伯特空間H上滿足NN^*=N^*N的算子N稱為正常算子。酉算子和自共軛算子都是它的特例。對這類算子已有清楚的瞭解(見譜論)。正常算子N有一個重要性質：設T是有界線性算子，如果TN＝NT，則TN^*=N^*T。

　　關於自共軛算子、酉算子及正常算子，早在20世紀20～30年代已獲得一系列深刻的結果。後來，人們的註意力逐漸轉移到各種類型的非正常算子上，例如，近20年來人們興趣較大的除次正常算子外有下面的算子。設T是H上的有界線性算子，T^*T-TT^*≥0，稱T是亞正常算子;如果

就稱 T為半亞正常算子。關於亞正常和半亞正常算子已經建立瞭它的函數模型並證明瞭著名的范數不等式：當 T是亞正常算子時，

當 T是半亞正常算子時，　　

。

　　投影算子　希爾伯特空間上特別重要的一類算子。由於希爾伯特空間有很好的幾何結構，因此這種空間上的線性算子理論取得瞭豐富的結果。投影算子是希爾伯特空間這種幾何特性的反映。

　　設M是希爾伯特空間H的閉線性子空間，根據投影定理，對任何x∈H必存在惟一的y∈M，z∈M_⊥使x=y+z。作H上的算子p_M：p_Mx=y，易知p_M是線性算子，稱為H在M上的投影算子。希爾伯特空間H上算子p是投影算子當且僅當p是冪等的(即p²=p)自共軛算子。投影算子p的另一等價條件是對任意x∈H，‖px‖²=(px，x)。投影算子p_M與相應的閉子空間M有如下關系。①H上的閉線性子空間M、N相互正交的充要條件是p_Mp_N=0。②當p_M是投影算子時，I-p_M也是投影算子，且I-p_M=p_M⊥。③兩個投影算子p_M、p_N之和p_M+p_N是投影算子的充要條件是M⊥N，而且此時

其中 M⊕ N={ x+ y| x∈ M， y∈ N， M⊥ N}。④兩個投影算子 p _M、 p _N之差 p _M- p _N是投影算子的充要條件是 Mɔ N，而且此時 式中 M⊕ N={ y| y⊥ N， y∈ M， Mɔ N}。⑤設 A是 H上的有界線性算子， M是 A的不變子空間（即 A M⊂ M）的充要條件 而 M是 A的約化子空間(即 M、 M _⊥都是 A的不變子空間)的充要條件是 A p _M= p _M A，等等。因此，投影算子已成為研究其他復雜算子的工具。