譜綜合

　　又稱調和綜合，是一個與譜分析(或稱調和分析)相對立的概念，它是調和分析與代數的理想理論中一個具有非常綜合性的研究課題。

　　譜分析與譜綜合的原始含義如下：設f(x)是一個週期振動的量，它可用圓周群T上的函數來描述，實驗指出這樣的振動往往由一個基頻及其整數倍頻的簡諧振動疊加而成，定出f的簡諧振動分量的過程稱為譜分析。熟知的傅裡葉展開便是這一過程，f的傅裡葉系數不為0的點集稱為f的譜集。相反的過程是由f的分量復合出f自己，這個過程就叫譜綜合。對f∈l^p(T)，1≤p≤∞，各種各樣的傅裡葉級數求和法便實現瞭譜綜合。因此從其原始含義說來，譜綜合與譜分析都不是很復雜的概念。但現在所謂的譜綜合已經演變成一個既概括又抽象，並且很有發展前途的研究課題。

　　通常所說的譜綜合是研究局部緊交換群G上，l^∞(G)中哪些元素可以由它的譜經過某種方法“綜合”出來；或者等價地說是指研究l¹(G)的哪些閉理想能被G的對偶群Ĝ中的一個閉子集完全決定。

　　關於l^∞(G)的譜綜合　這裡l^∞(G)不是指所有本性有界函數的集合賦極大模的空間，而是同一集合賦弱^*拓撲的空間。先對g∈l^∞定義譜集的概念。粗略而言，g的譜集就是ĝ（表示傅裡葉變換）的支集。更確切一些的定義是：設F是l^∞(G)的閉平移不變子空間，既然Ĝ是由G上有界函數構成的，則Ĝ∩F有意義，記它為∑(F)，並稱之為F的譜集。對任意g∈l^∞(G)，記[g]為由g生成的閉平移不變子空間，簡記∑([g])為∑(g)，並稱它為g的譜集。如果g能被∑(g)中的元素的線性組合逼近，則每個h∈[g]亦然。這時，集合∑(g)(它是Ĝ中一個閉集)完全決定瞭l^∞(G)中的閉平移不變子空間[g]。所謂l^∞(G)的譜綜合便是研究l^∞(G)的哪些閉平移不變子空間可被Ĝ的一個閉集完全決定。它的一個特殊情形是研究怎樣的g∈l^∞(G)能被∑(g)中元素的線性組合逼近。可以證明如果l^∞(G)中g的傅裡葉變換是函數或測度，則上面定義的譜集∑(g)就是g的傅裡葉變換的支集。這種情況下，譜集與譜綜合概念就回到瞭它們的原始理解。

　　關於l¹(G)的譜綜合　設I是l¹(G)的任意一個閉理想，令

(1)

l ¹( G)的譜綜合便是研究怎樣的 I可以由 Z( I)(它是 Ĝ中一個閉集)完全決定。或者等價地說，是研究 Ĝ的哪些閉集 E是惟一閉理想 I的 Z( I)。註意，任意閉集 E⊂ Ĝ總至少是一個閉理想的傅裡葉變換的公共零點集。例如

便是一個以 E為傅裡葉變換的公共零點集的閉理想(即等式 E= Z( I( E))恒成立)。同時， 在 E的一個鄰域上為0} ^-(“-”表示閉包)也是以 E為傅裡葉變換的公共零點集的閉理想，並且 I( E)是最大的， I ₀( E)是最小的。 l ¹( G)的譜綜合也可以說是研究對怎樣的 E有 I( E)＝ I ₀( E)。滿足這個性質的 E稱為譜綜合集。如果所有閉集 E⊂ Ĝ都是譜綜合集，則稱 l ¹( G)的譜綜合成立。

　　l^∞(G)與l¹(G)的譜綜合的等價　可以證明對任意閉集E⊂Ĝ，存在惟一閉理想I⊂l¹(G)使Z(I)=E，當且僅當存在惟一閉平移不變子空間F⊂l^∞(G)使∑(F)=E。這就是說，l^∞(G)與l¹(G)的譜綜合是等價的。

　　譜綜合的已知重要結果　對所有緊群G，譜綜合是成立的。但對非緊群G，情況要復雜得多。40年代末期，L.施瓦爾茨第一個舉例說明l¹(R³)的譜綜合不成立，他指出R³中單位球面不是譜綜合集。約10年後，P.馬利阿溫一般地證明瞭l¹(G)的譜綜合當G非緊時是不成立的。

　　C.H.赫茨舉出瞭Rⁿ中譜綜合集的許多例子，V.A.迪特金給出瞭Ĝ中閉集是譜綜合集的充分條件。作為這個充分條件的推論，得知l¹(G)中除瞭自己以外不可能有別的閉理想使其傅裡葉變換無公共零點(概括而言此即"空集是譜綜合集")。值得提出的是，這個推論包含瞭著名的N.維納的陶伯定理：如果φ∈l^∞(G)，f∈l¹(G)滿足霛(t)≠0，對一切任意t∈Ĝ，並且

，　(2)

則對一切任意 g ∈ l ¹( G)，當用 g代替 f時，式(2)仍成立。此外， 沿著 l ^∞( G)的譜綜合方向， A.博靈有一系列的工作。例如，他指出對非零的 g ∈ l ^∞( G)，∑( g)是非空的。這正是“空集是譜綜合集”的另一種說法。

　　譜綜合的其他等價提法和推廣　譜綜合還有一個常見的等價提法是用擬測度的語言。l^∞(G)的傅裡葉變換的集合記為PM(Ĝ)，其中的元素就稱為Ĝ上的擬測度。l¹(G)的傅裡葉變換的集合

A( Ĝ)是一個巴拿赫代數，作為一個巴拿赫空間，其對偶空間正是由 P M( Ĝ) 的元素構成的。因此可以在 P M( Ĝ)中賦弱 ^*拓撲。

譜綜合的另一種提法就是研究怎樣的 S ∈ P M( Ĝ)可以被由 S 的支集中的點支撐的點測度的線合組合弱 ^*逼近。這種提法實際上是使用傅裡葉變換將 l ^∞( G)的譜綜合的提法的改裝。類似地，也可用傅裡葉變換概念將 l ¹( G)的譜綜合提法改裝。 l ¹( G)的譜綜合提法還可推廣到對任意正則交換巴拿赫代數 A。對這樣的 A的譜綜合是研究 A的怎樣的閉理想 I可以被 A的極大理想空間 X的一個閉集完全決定；這等價於說，怎樣的 I可以表為正規極大理想的交（式(1)最右邊的表示便是正規極大理想的交）；也等價於說，怎樣的 I使得

I=ker(hull(I))；

也等價於說 X的怎樣的閉集是 A的惟一理想的蓋爾范德變換的公共零點集。

　　

參考書目

　C.C.Graham and O.C.McGehee，Essays in Commuta-tive harmonic Analysis，Springer-Verlag，New York，1979.

　E.Hewitt and K.R.Ross，Abstract harmonic ɑnalysis，Vol.1～2，Springer-Verlag，Berlin，1963，1970.