由邊界固定的膜振動引出的拉普拉斯運算元的特徵值問題：
是一個典型的偏微分運算元的特徵值問題，這裏
x=(
x
1，
x
2)；
Ω是膜所占據的平面區域。使得問題有非平凡解（非零解）的參數
λ的值，稱為特征值；相應的解稱為特征函數。當
Ω有界且邊界∂
Ω滿足一定的正則條件時，存在可數無窮個特征值
，相應的特征函數ψ
n(
x)組成
l
2(
Ω)上的完備正交系。乘以常因子來規范ψ
n(
x)，使其
l
2(
Ω)模為1，則
Ω上的任意函數
f(
x)的特征展式可寫為：
當
f可以“源形表達”，即
f滿足邊界條件且Δ
f平方可積時，展式在
Ω一致收斂。當
f平方可積時，展式平方平均收斂，且有帕舍伐爾公式：
對膜振動問題的認識還是相當有限的。能夠精確地知道特征值的，隻限於矩形、圓盤等少數幾種非常簡單的區域。對橢圓和一般三角形的特征值精確值，還幾乎毫無所知。其他情形就更談不上瞭。
將不超過λ的特征值的個數記為N(λ)。特征值的漸近分佈由N(λ)對大λ的漸近式來刻畫。這方面最早的結果是（C.H.）H.外爾在1911年得到的（外爾公式）：
式中
表示
Ω的面積。R.庫朗將餘項改進為
。對於多角形區域，又有人將餘項改進到
。各種情況下改進餘項估計的工作至今綿延不絕。外爾猜測有一個更強的結果：
式中｜∂
Ω｜是區域邊界之長，但尚未被證出。
與此密切相關的是下面的MP公式：(t→+0)
取一個漸近項時，用陶伯型定理可由它推出
N(
λ)的外爾公式。第二漸近項與外爾猜想非常相象，但由此證不出外爾猜想。第三項遲至1966年才被M.卡茨導出，後來由H.P.麥基恩與I.M.辛格嚴格證明，其中
h表示鼓膜
Ω的洞數。
特征值與膜振動頻率有一個直接的換算關系，M.卡茨據此給MP公式一個非常生動的解釋：可以“聽出“鼓膜的面積|Ω|、周長｜∂Ω｜和洞的個數h！由於1-h恰巧是Ω的歐拉-龐加萊示性數，是整體幾何中頗受重視的一個不變量，“聽出鼓形”或“譜的幾何”問題立即引起人們的強烈興趣，並導致一系列重要的研究。不過一般的特征值反問題，要求從特征值的譜完全恢復Ω，還遠遠沒有解決。
用陶伯型定理得出N(λ)漸近式的方法，由T.卡萊曼於1934年首創，他還得到譜函數的漸近式：(λ→∞)
，
式中δ
xy當
x=
y時為1，當
x≠
y時為0。
上述關於拉普拉斯算子的結果，由L.戈爾丁和F.E.佈勞德推廣到Rn
的有界區域
Ω上的
m階橢圓算子
。盡管推算繁雜，但結果十分簡單整齊：
；
；
式中
v(
x) 表示集合{
ξ｜｜
A
0(
x，
ξ)｜＜1}的勒貝格測度，而
是
A
的最高階導數項相應的特征形式。特征展開定理亦由L.戈爾丁得出。
對於奇異情形，例如薛定諤方程
的譜問題，可以證明存在譜函數
S(
x，
y，
λ)，特征展式為
。
由於可能出現連續譜，
S(
x，
y，
λ)一般不一定能寫成前述特征函數雙線和的形式。判定奇（異）微分算子譜的離散性是很有意義的工作。已經出現各種充分條件。不過關於特征值與特征函數漸近性質的研究，還隻是限於少數特例。
在處理‖x‖→∞ 時V(x)→∞的情形，M.卡茨與D.雷等人曾創造瞭一種系統的概率方法，其中借助數學期望表出格林函數，有效地求出譜函數與特征值的漸近式：
。
當算子A的系數不光滑，或非一致橢圓，或非自共軛，以及邊條件帶特征參數或帶非定域項等等情形，都出現不少研究結果。還有人考察Au=λBu型的特征值問題，
這裡
A、
B都是橢圓算子。
除上述問題外，特征展式的收斂性與求和法也一直受到人們的關註。