偏微分方程特徵理論

　　特徵是偏微分方程論的一個基本概念。它對研究解的存在、惟一性及其他性質（例如奇性傳播）都有重要的意義。

　　柯西-柯瓦列夫斯卡婭定理　解析情況的柯西-柯瓦列夫斯卡婭定理是偏微分方程論中的第一個普遍的存在定理。以m階線性偏微分方程為例，這個定理是說，對於柯西問題

　　　(1)

　　　(2)

式中 分別是其復變元在原點附近的解析函數， x=( x ₁， x ₂，…， x _n)，有惟一的在原點附近解析的解存在。這定理也適用於非線性的，以及方程組的情形。但是，都要求未知函數對 t的最高階導數已經解出。

　　也可以考慮初始條件不是給在超平面t=0上而是給在一般的解析超曲面S：φ(t，x₁，x₂，…，x_n)=0上的情況。這裡φ是(t，x)在(0，0)

附近的解析函數，而且為瞭方便，設φ _t≠0。這時可以作變量變換τ＝φ( t， x ₁， x ₂，…， x _n)， y _j= x _j， j=1，2，…， n，柯西問題(1)、(2)將變為

為瞭應用柯西-柯瓦列夫斯卡婭定理，應該要求在 S： =0上有

\ n

(3)

　　特征的定義　將上述討論移到一般的m階線性偏微分算子P(x，D_x)上，這裡P(x，D_x)是

的多項式，其象征為 P( x， ξ)，主象征為 P _m( x， ξ)。為瞭方便，記 t為 x ₀， x＝( x ₀， x ₁，…， x _n)相應於(3)的結果是：對於超曲面 有 如果一個超曲面 φ( x)=0( grad φ≠0)適合

(4)

則稱它是 P的特征超曲面。

　　如果不是在x空間的某區域U中討論（4）式而是在U×(

\0)中討論它，即討論 P _m( x， ξ)=0，這裡ξ∈ ， ξ≠0，可以給出一個相應的定義：算子 P( x， D _x)的特征集為

對於超曲面 φ（ x）＝0，（ grad φ≠0），其上每一點都有一個法線向量 。如果把超曲面上一點與該點的法線向量合起來成為一個接觸元素 ，那麼特征曲面就是其一切接觸元素均屬於特征集的超曲面。

　　對於非線性方程也可以利用與(4)式相似的關系式來定義其特征。不過，這時定義特征的式子中將含有未知函數u，所以隻能討論當u為某一函數u=u₀(x)時，φ=0是否相應的特征超曲面。

　　次特征　(4)式並非

的某一區域 U中的一階偏微分方程。但若考慮相應的一階偏微分方程

(5)

則(5)也有自己的特征，即常微分方程組

(6)

的積分曲線。這個積分曲線稱為 P的次特征。

　　方程組(6)有一重要性質，即P_m(x，ξ)是其初積分。事實上，若Г：x=x(t)，ξ=ξ(t)是次特征，則沿著Г，P_m(x(t)，ξ(t))=常數：

因此，若以 為初始值解(6)，而且設( x ₀， ξ ₀)是特征元素，則過( x ₀， ξ ₀)的次特征上全是特征元素：

。所以在求 P的特征超曲面時，可以用特征線法解出一階偏微分方程(5)（見 一階偏微分方程），即用次特征“織”成一個超曲面，隻要初始元素是特征元素，則所得必是特征超曲面。適合一定條件的特征超曲面都可以這樣求得。若解其達佈問題，就可以得到特征角面。以上都是在( x， ξ)空間中考慮的。

　　如果在(x，ξ)空間考慮，

並視 ξ為一向量，( x， ξ)就成為 x空間中 x點處的接觸元素。這樣， (6)的解將稱為 P的次特征帶，它在 x空間的投影稱為次特征曲線。一切適合於一定條件的特征超曲面都是由次特征曲線“織”成的。

　　特征的性質　仍用t記x₀，表示時間；x=(x₁，x₂，…，x_n)表示空間。φ(t，x)=0在(t，x)空間中表示一個超曲面，而在x空間中則表示隨時間t在x＝(x₁，x₂，…，x_n)空間中運動的超曲面。

　　設m階線性偏微分方程

的解 u 在超曲面 S上有弱間斷，即 u及其直到 m-1階導數均在 S附近連續，而 m階導數在 S上有第一類間斷。其躍度記為 μ ，若以 u在 S上的直到 m-1階導數為初值解 P u = 0的柯西問題，則在 S的兩側得到不同的解，即以 S為支柱時柯西問題失去瞭惟一性。可以證明，這時 S必定是特征超曲面。總之，線性偏微分方程解的弱間斷面必定是特征超曲面。

　　上述情況可以從物理上加以解釋。視Pu=0的解為一個波。若在超曲面S：φ(x，t)=0之一側u≡0，而在另一側u扝0，則S是波前。因為在S的“前方”，即u≡0的一側，一切都是平靜的，表示在該時刻波還沒有傳播到這個區域；S的另一側u扝0，表示該區域在該時刻已受到波的擾動影響。所以在x空間中隨時間運動的超曲面S正描述瞭波前在x空間中的傳播。

　　作相應於算子P的次特征曲線，並記其上的參數（即(6)的自變量t）為s，則Pu=0的解u的m階導數的躍度μ

適合所謂傳輸方程

A是算子 P決定的函數。因此

。 (7)

由(7)可知，若 μ(0)＝0（或 μ(0)≠0），則沿著整個次特征曲線恒有 μ＝0（或 μ≠0）。這就是說，解的間斷沿次特征曲線傳播。特征超曲面表示波前；這裡又看到，次特征曲線表示光線。通過特征理論，可以看到物理光學的基本概念波前與幾何光學的基本概念光線這兩者的緊密聯系。(見 雙曲型偏微分方程、 哈密頓－雅可比理論)

　　偏微分方程解的間斷，是解的奇異性情況之一。在C^∞理論框架下，常用解u的奇支集sing suppu來刻畫解的奇異性。解的奇性傳播問題，就是討論sing suppu的傳播問題。這是線性偏微分算子理論的基本問題之一。這方面最基本的結果，簡言之，仍是Pu=f的解u之奇性沿次特征傳播。

　　若算子P沒有實特征，即P為橢圓算子，

則 P u= f的解當 f ∈ C ^∞時也應屬於 C ^∞。 （C.H.）H.外爾在1940年對拉普拉斯算子證明瞭這個結果。後來， L.施瓦爾茨對一般 C ^∞系數橢圓算子也證明瞭這個結果。但是橢圓性隻是這個結果成立的充分條件，因此將具有這一性質(當 f∈ C ^∞時， P u= f之解 u∈ C ^∞，稱為亞橢圓性)的算子分為一類稱為亞橢圓算子。亞橢圓性的研究也是線性偏微分算子理論的基本問題之一。非線性偏微分方程解的奇異性問題要復雜得多，但是特征理論在其中也起基本的作用。