偏微分方程

　　客觀世界的物理量一般是隨時間和空間位置而變化的，因而可以表達為時間座標t和空間座標(x₁，x₂，x₃)的函數u(t，x₁，x₂，x₃)，這種物理量的變化規律往往表現為它關於時間和空間坐標的各階變化率之間的關系式，即函數u關於t與(x₁，x₂，x₃)的各階偏導數之間的等式。例如在一個均勻的傳熱物體中，溫度u就滿足下面的等式：

　(1)

這樣一類的包含未知函數及其偏導數的等式稱為偏微分方程。一般說來，如果( x ₁， x ₂，…， x _n)是自變量，以 u為未知函數的偏微分方程的一般形式是

(2)

這裡 F是它的變元的函數， 所包含的偏導數的最高階數稱為偏微分方程的階數。

　　由若幹個偏微分方程所構成的等式組就稱為偏微分方程組。其未知函數也可以是若幹個。當方程的個數超過未知函數的個數時，就稱這偏微分方程組為超定的;當方程的個數少於未知函數的個數時，就稱為欠定的。

　　如果一個偏微分方程（組）關於所有的未知函數及其導數都是線性的，則稱為線性偏微分方程（組）。否則，稱為非線性偏微分方程（組）。在非線性偏微分方程（組）中，如果對未知函數的最高階導數來說是線性的，那麼就稱為擬線性偏微分方程（組）。

　　設Ω是自變數空間Rⁿ中一個區域，u是在這個區域上定義的具｜α｜階連續導數的函數。如果它能使方程(2)在Ω上恒等成立，那麼就稱u是該方程在Ω中的一個經典意義下的解，簡稱為經典解。在不致誤會的情況下，就稱為解。

　　偏微分方程理論研究一個方程（組）是否有滿足某些補充條件的解（解的存在性），有多少個解（解的惟一性或自由度），解的各種性質以及求解方法等等，並且還要盡可能地用偏微分方程來解釋和預見自然現象以及把它用之於各門科學和工程技術。偏微分方程理論的形成和發展都與物理學和其他自然科學的發展密切相關，並彼此促進和推動。其他數學分支，如分析學、幾何學、代數學、拓撲學等理論的發展也都給予偏微分方程以深刻的影響。

　　微積分理論形成後不久，在18世紀初，人們就結合物理問題研究偏微分方程。最早研究的幾個方程是弦振動方程、熱傳導方程和調和方程（又稱拉普拉斯方程）。例如給定一根拉緊的均勻柔軟的弦，兩端固定在x軸的某兩點上，考察該弦在平衡位置附近的微小橫振動，弦上各點的運動可以用橫向位移u(x，t)表示，其運動規律可以用

　 (3)

表示。(3)式就稱為弦振動方程，它是J.le R.達朗貝爾首先研究的。如果考慮空間中的波動現象（例如電磁波和聲波傳播），其規律可以用

　　(4)

表示。(4)式稱為波動方程。描寫熱傳導規律的熱傳導方程如(1)所示，它是J.-B.-J.傅裡葉發現的。當熱運動達到平衡狀態時，溫度u所滿足的方程是

　　 　　

它稱為調和方程。調和方程也可以由許多其他物理理論推得，例如牛頓引力理論中的引力勢，彈性薄膜的平衡，不可壓縮流體的定常運動等。在自變數個數為2時，該方程也是解析函數f(z)=u+iυ的實部u與虛部υ所應滿足的方程，這時u、υ應滿足柯西－黎曼方程組：

這是在數學中最重要的偏微分方程組之一，很早就在流體力學中起重要作用。

　　隨著力學、物理學的發展，18世紀以來，連續介質力學、電磁理論、量子力學、引力理論、規范場論等等方面的基本規律，都被寫成偏微分方程的形式。這些方程通常稱為數學物理方程，對於相應的力學、物理學科都是至關重要的。在偏微分方程中所獲得的每一研究成果，幾乎都可以迅速地在相應的力學、物理學科中得到應用。近年來，在力學、物理學、化學、生物學以至經濟學、社會學等學科中又不斷歸結出一些新的偏微分方程（組），它們的研究對於瞭解相應學科中的一些運動規律是十分重要的。

　　從偏微分方程的本身形式來看，最簡單的是一階偏微分方程。n個自變數的空間Rⁿ中一階線性偏微分方程的標準形式是

一階擬線性方程的標準形式是

而一般的一階非線性方程則可表為

　　對於一階偏微分方程的求解問題，早在19世紀初期已由A.-L.柯西、J.-L.拉格朗日等人給以解決，基本的方法是把求解這種方程的問題化為求解一階常微分方程組的問題。

　　二階以及更高階的方程，一般難以化為常微分方程求解，定解問題的提法也相當多樣。就波動方程、熱傳導方程和調和方程而言，首先總根據物理問題的需要，提出為求解問題所必須的定解條件，然後再從數學上加以概括和推廣，形成多種多樣的定解問題。對不同的偏微分方程，其定解條件的提法也往往迥然不同。

　　對熱傳導方程，可研究柯西問題，其定解條件是在t=0時刻給出u值，求t＞0時方程(1)的解。還可研究熱傳導方程的另一些定解問題，例如設Ω是R³中的一個區域，求在Ω×[0，∞)中方程(1)的解，

要求它在 t= 0 時取給定值 u= φ，在 t＞0時當( x， y， z)落在區域的邊界上時 u也滿足一定的條件，例如已知 u的值或 u的法向導數值等，這種問題稱為初邊值問題。對於波動方程，研究得最多的也是柯西問題與初邊值問題，但這時在 t=0上必須給出兩個初始條件：函數 u及其關於時間的導數 。對於調和方程，研究得較多的是邊值問題，即在 R ⁿ的一個區域 Ω的邊界上給出定解條件，在 Ω內求調和方程的解。若邊界上的條件是給定未知函數 u的值，則稱這樣的邊值問題為狄利克雷問題，若邊界上的條件是給定未知函數法向導數的值，則稱這樣的邊值問題為諾伊曼問題，當然還有邊界條件的其他種種提法。選定上述這樣一些定解問題進行研究既有其物理上的根據，在數學上又能按照一定的準則被證明是合理的，這些準則中最常用的是解的存在性、惟一性以及解關於用作決定解的資料（例如初始條件等）的連續依賴性。如果一個定解問題的解是存在、惟一且連續地依賴於定解條件，則這個定解問題，稱為適定的。適定性概念是 J.（-S.）阿達馬提出來的，過去認為，在物理學中有意義的定解問題必須是適定的，但後來已經知道許多在應用上很有意義的不適定的問題。

　　對上述的幾種方程，已有許多解法，波動方程和熱傳導方程的柯西問題，已經有瞭求解的公式，對於許多特殊的區域Ω，波動方程和熱傳導方程的初值問題以及調和方程的邊值問題也有解的明顯表達式。分析學中的許多特殊函數，也是從這些問題中發展起來的。但對一般的域Ω，這些問題要用比較復雜的手段才能解決，例如解狄利克雷問題就有上下函數法（佩隆法），位勢法，變分法，差分法等等。在應用上往往要用數值解法，如差分法和有限元方法等等。

　　在上述特殊的二階方程有瞭充分的研究之後，人們轉向於一般的二階線性偏微分方程，即

　　　

　　　(5)

方程中系數的不同代數性質往往會使偏微分方程及其解具有相當不同的性質，為此需要把微分方程分成不同類型來研究，對方程（5），如果在 Ω的每一點 x，二次型 σ ₀ 為正定(或負定)，則稱它在 Ω中為橢圓型的;如果在 Ω的每一點，這二次型的特征值均不為零，且有一個和其他的特征值異號，就稱這方程為雙曲型的；若方程(5)可寫為

的形式，式中 在 Ω中為正定，則就稱它為拋物型的。雙曲型、拋物型、橢圓型方程是二階線性偏微分方程的三種基本類型，數學物理中常見的波動方程、熱傳導方程和調和方程分別為它們的代表。關於這三種典型數學物理方程的定解問題的提法、解的性質以及求解方法，多半可推廣到它們所代表的三種類型的方程上去。

　　還有許多二階線性偏微分方程並不屬於上述的雙曲、拋物、橢圓三種類型。如果在Ω的一個子區域中方程(5)是橢圓型的，在另一子區域中方程是雙曲型的，在某餘集中二次型σ(x，ξ)為退化，那麼就稱這方程是混合型的。F.G.特裡科米在1923年首先研究瞭方程

　　 　　

y＞0時，它是橢圓型的， y＜0時，它是雙曲型的。以後人們又結合空氣動力學中的跨音速流和具相似性的超音速流，對混合型方程作瞭許多研究。

　　一些普遍適用的，不依賴於特殊類型的偏微分方程的性質的研究一直引人關註，19世紀末在解析函數范圍中得到瞭一個很一般的結果。設有以u₁，u₂，…，u_N為未知函數，x₁，x₂，…，x_n為自變數的偏微分方程組，它具有下述特殊形式

　　　(6)

式中 F ₁， F ₂，…， F _N是 x ₁， x ₂，…， x _n， u ₁， u ₂，…， u _N以及它們分別到 r ₁， r ₂，…， r _N階為止的偏導數的函數，但不依賴於出現在左端的那些偏導數，如果 F ₁， F ₂，…， F _N是其變元在原點鄰域內的解析函數，又設 x _n=0時給定初始值 u _α， 它們又都是 x ₁， x ₂，…， x _{n - 1}的解析函數，而且 時，這些函數及其有關導數的數值連同 x ₁=0， x ₂=0，…， x _{n - 1}=0是在 F ₁， F ₂…， F _N的定義域之內，那麼就有如下的結論：惟一地存在方程組(6)在原點某鄰域內的解析解。它滿足已給的初始條件。這就是柯西－柯瓦列夫斯卡婭定理。這種解析解的冪級數展開式的系數可以逐項求出。這是求近似解的一種一般性方法，但往往有收斂不快或收斂區域較小的情形。

　　對任何一個解析函數構成的偏微分方程組可以通過一定的算法確定其是否可能有解析解，在有解的情況下確定解析解的自由度，這是C.裡奎爾所得的結果。É.嘉當和E.凱勒把偏微分方程組寫成外微分方程的形式，用更好的方法處理瞭同一問題，並在變換擬群論和局部微分幾何學中取得瞭很多應用。

　　在解析函數領域中研究偏微分方程，其結果具有某種程度的一般性，在線性的情形，E.霍姆格倫就曾證明，如方程的系數和初始條件均為解析函數，柯西問題的光滑解是惟一的。然而系數和定解條件的解析性對於數學物理中所關心的許多邊值問題是不能適用的。所以冪級數這個分析工具對於研究偏微分方程來說是遠遠不夠的。

　　20世紀30年代起，各種泛函分析方法陸續被應用於偏微分方程的研究，使偏微分方程理論的面貌產生瞭很大的變化。首先對偏微分方程解的概念作瞭多種方式的推廣，一種推廣的方式是把經典解的在某種函數空間中的極限作為廣義解。具體地說，如果l是一個線性偏微算子（例如式(5)所式），u_n是方程lu_n=f_n的經典解，函數序列u_n與f_n分別按某種意義收斂於u、f，則稱u是方程lu=f的強解。另一種推廣方式是利用格林公式，即對l可作其形式共軛微分算子l^*，使對經典解u及邊界上滿足一定條件的任意光滑函數υ成立

　　(7)

如果在一更廣泛的空間中的 u， f也能對這些υ使(7)式成立，那麼就稱 u是 lu= f的弱解。由於方程與定解問題種類繁多，廣義解又可視為各種不同空間中的元素，所以廣義解的種類是很多的。

　　強解和弱解在許多場合下是一致的，但有時也不一致。求解的大致過程是：利用泛函分析中的某些定理，證明廣義解的存在性；再論證這些廣義解的可微分性，然後得到經典解的存在性。在整個過程中，利用邊界條件和方程lu=f的右端f，對u作出各種估計(稱為先驗估計)起著十分重要的作用，這時l視為一個函數空間到另一個函數空間的算子，可解性的問題就歸結於逆算子是否存在的問題。

　　上述方法對解決許多偏微分方程問題都起著重要作用。不僅可以用來討論二階的情形，也可以用來發展高階方程（以及方程組）的理論。一般地說，n個自變數的一個m階線性方程具形式

　　　　 (8)

式中

為非負整數，

；若它的系數滿足

　　　(9)

式中

，則稱(8)為 m階橢圓型方程。給定適當的邊界條件，可以證明其解的弗雷德霍姆性質，即齊次方程的線性獨立解的個數是有限的，非齊次方程解的存在性取決於非齊次項是否與共軛齊次方程（連同共軛的邊界條件）的解正交。關於這種定解問題解的光滑性也有很好的結果，當問題的資料（出現在方程與邊界條件中的函數，區域的邊界）是 時（即任意階導數存在且連續），解在區域上也是 C ^∞的，當問題的資料為解析時，解也是解析的。

　　若(9)式中確定的函數P_m(x，ξ)滿足條件：對任何ξ≠0可以從ξ₁，ξ₂，…，ξ_n中選出一個變量ξ_n，使對任意ξ₁，ξ₂，…，ξ_n-1，方程P_m(x，ξ)=0都有ξ_n的n個相異實根，則稱(8)關於方向(0，…，0，1)為嚴格雙曲型方程。對此，可以證明其柯西問題是適定的，而且在有限區域中的解隻依賴於初始平面上有限區域中初始資料的值。對於雙曲型方程組也有類似的結論。雙曲型方程（組）的初邊值問題，也已有一定的研究。

　　這種泛函分析方法用於具相當一般性的一階方程組

的邊值問題也有相當的成效。這裡 u是未知的向量函數， A ⁱ、 B都是方陣， f是已知的向量函數。當 A ⁱ( x)是對稱陣，陣 為正定時（ B ^*是 B的轉置），它被稱為正對稱方程組。它跨越瞭經典的方程分類方法，即包括瞭部分的雙曲、橢圓和拋物的方程組，並且包括瞭相當多的不屬於上述類型的方程組。已經弄清楚瞭這類方程組一系列邊值問題的解的存在性、惟一性和可微分性。這個理論對混合型偏微分方程的研究有特別的用處，已經能夠利用這項理論解出多元混合型方程的一系列邊值問題，得到經典解的存在性。

　　在偏微分方程或方程組中，如上所述的橢圓型、雙曲型等隻占很少的一部分，絕大部分的方程（組）無法按經典的分類進行研究。因此，有必要建立盡可能普遍適用的理論或者給出新的分類方法。人們先對常系數方程進行瞭研究，往往不加定解條件而考察方程

P(D)u＝f　　　　　　 (10)

的求解問題，這裡 P(D)是一個常系數的偏微分算子。由於 傅裡葉變換可以將微分運算變成乘法運算，所以它在對這種方程的研究中起著很重要的作用，B.馬爾格朗熱首先證明任一常系數偏微分算子 P(D)存在基本解，即滿足 P(D) E= δ的解。這裡 δ是狄喇克函數。L.赫爾曼德爾直接構造出瞭一個基本解 E，並指出它是具有最好的局部性質的基本解。據此，隻要對右端項 f在無窮遠處的增長性作一定的限制，方程 P(D) u= f的解就可以用卷積 E* f給出，從而得到方程(10)的解的存在性。但這種解，一般隻是分佈解（見 廣義函數），也就是說，具緊致支集的 C ^∞函數所成的空間上的線性泛函，是一種弱解。所以關於解的光滑性研究也是一個重要課題。對某些方程而言，若 f為 C ^∞的，方程(10)的任一解 u也必是 C ^∞的。這類方程稱為亞橢圓的，它包括橢圓算子，但是廣泛得多。

　　當由常系數方程的一般理論過渡到變系數方程時，發生瞭意外的復雜情況。1957年H.盧伊首先給出一個無解方程的例子：

　　　(11)

式中 u是復值的未知函數。他指出，可以選取 f∈ C ^∞( R ³)，使得(11)在 R ³的任何非空子集中非但無經典解，而且也無分佈解。後來知道，這種局部不可解的偏微分方程是非常多的。

　　為瞭對變系數線性偏微分方程作深入的研究，古典傅裡葉分析的工具已遠遠不夠。60年代微分算子的概念也有瞭很多擴充，從奇異積分算子開始發展為擬微分算子，它包括微分算子，具C^∞核的積分算子以及橢圓算子的逆算子等等為其特殊情形，利用它討論各種偏微分方程問題，如具C^∞系數偏微分算子的柯西問題的惟一性定理、局部可解性問題、解的奇性的傳播和反射等等，都取得瞭很好的結果，擬微分算子後來又被推廣為傅裡葉積分算子，它綜合瞭古典的傅裡葉分析法與冪級數法的優點，把它用於微分算子的化簡，其手段更為靈活。

　　以擬微分算子與傅裡葉積分算子為工具，近年來又發展瞭微局部分析方法。按這種方法對偏微分方程的解作更為精細的分析，解決瞭許多新的課題，成為近十餘年來線性偏微分方程的重要工具，並被逐步推廣與應用於處理非線性問題。目前對於僅具有單重特征的微分算子（主型算子）已作瞭比較充分的研究。

　　與線性方程理論蓬勃發展的同時，各種非線性問題的研究也獲得瞭許多進展，可以說，許多較為復雜的物理問題都是非線性問題。在有的時候，用線性方程作為非線性方程的近似，也能夠得出相當好的結果，但在許多情況下，非線性方程絕不是用線性方程所能夠代替的。

　　就雙曲型方程的柯西問題而言，在初始時刻附近，非線性方程的解的存在性是能夠很好地解決的。但這種解有時會在有限時間內趨向無窮或其可微分性受到破壞，從而間斷解就成為研究的對象。它是用來描述氣體力學中激波的傳播、反射等現象的。此外，在什麼條件下不會出現奇性，也是近年來重要的研究對象。

　　非線性方程所描述的波，其波形往往會隨其傳播而發生畸變，但對於某些方程來說（如KdV方程）存在著不發生畸變的波動解，稱為孤立波。兩個孤立波相互作用後，仍然分開成兩個孤立波，這種現象也引起瞭人們很大的興趣，並已發展瞭系統的理論。

　　拋物型和橢圓型的擬線性方程，由於先驗估計的深入發展，已有相當多的成果。由於這種算子的逆算子往往有相當好的光滑的性質，所以解的可微分性要比雙曲型方程的情況好得多。但拋物型方程的解仍然可能在有限時間內變為無窮，橢圓型方程依某種意義定義出來的廣義解仍然不能具有好的可微分性，對於描述粘性流體運動的納維-斯托克斯方程，也有深入的成果，但對解的大范圍存在性和解的正則性仍有很多問題。近年來，對於描述既有擴散現象又有化學反應的反應擴散方程，也有較多研究，並且在生物學等領域有所應用。

　　在非線性問題的研究中，不斷發展出一些獨特的數學方法，除瞭從線性問題過渡到非線性問題時常用的不動點方法外，拓撲度方法與變分法(包括臨界點理論)是研究非線性問題大范圍解與多重解的有效工具，此外，在各種不同的具體問題中，單調算子方法、非線性半群、隱函數定理等都起著重要的作用。但總的來說，對於非線性方程的研究尚處於各種問題和方法分別地發展的狀態，尚未形成一個統一的理論，還沒有一種普遍適用於各類問題的方法。在實際應用中，常利用電子計算機進行數值計算來求解，對許多問題都能夠取得相當準確的結果。

　　偏微分方程往往還是處理分析問題和幾何問題的有效的工具，例如復變函數論，特別是多元復變函數需要用偏微分方程去解決許多問題。微分幾何學和偏微分方程關系一直十分密切，微分幾何所提出的問題，是偏微分方程發展的一項動力。近年來，微分流形上的偏微分方程的研究，取得瞭很多深入的成果，如線性橢圓算子的指標定理，楊振寧-米爾斯方程和蒙日-安培方程的求解，極小曲面和調和映射的研究等等，微分幾何和偏微分方程的相互滲透，成為一個重要的發展趨勢。

　　從50年代起，中國研究偏微分方程理論和應用的人員增長很快，研究的范圍也日益廣泛，在若幹領域中，已經取得瞭有國際影響的一系列成果。

　　

參考書目

　R.Courant and D，Hilbert，Methods of MatheMatical Physics，Vol.1～2，International Pub.，New York，1953，1962.

　L.Hormander，The Analysis of Linear partial Differential Operators，Vol.1～3，Springer-Verlag，Berlin，1983.