偏微分方程的一種具有特定奇異性的解，由它可以構造出一般的解。例如對於二維和三維拉普拉斯方程的基本解
可用來構造出該方程的“通解”以及格林函數（見
橢圓型偏微分方程）。對於三維的波動方程和熱傳導方程，它的基本解
也有類似的作用（見
雙曲型偏微分方程、
拋物型偏微分方程）。
J.（-S.）阿達馬對二階線性偏微分方程
在解析系數與非拋物（即det(
α
ij)≠0）的條件，作出瞭以下形狀的基本解
，
式中
U、
V、
W是
，
的解析函數，Г是
p與
p
0在度量
下的測地距離的平方，
廣義函數是研究基本解的有力工具。線性偏微分算子l的基本解即適合下式的廣義函數E（p，p0）：l(E)=δ(p-p0)，δ是狄喇克函數。當l為常系數算子時，E(p，p0)=E(p-p0)。若能作出E，則l(u)=f將有解u=E*f：l(E*f)=l(E)*f=δ*f=f。
對常系數偏微分算子l，利用傅裡葉變換可形式地作出基本解
這裡根本的困難是
l(
ξ)的零點將使該積分發散。20世紀50年代中期，L.赫爾曼德爾、B.馬爾格朗熱與L.埃倫普雷斯獨立克服瞭這個困難，證明瞭常系數線性偏微分算子基本解的存在。這是偏微分方程論的重大進展。
對變系數線性偏微分算子，則有必要將基本解概念推廣為擬基本解。在構造擬基本解並研究其性質與應用方面，擬微分算子與傅裡葉積分算子有著根本的作用。