物理學中的平衡態或定常態問題，例如彈性膜的平衡、彈性柱的扭轉、定常態熱傳導、電場、磁場、滲流、亞聲速流及不可壓縮無旋流等等，通常都可歸結為橢圓型偏微分方程邊值問題。典型例子是泊松方程

　 　　　(1)

的邊值問題。即要求定出未知函數 u<= u( x， y)，使之在某個區域 Ω內滿足(1)， 並在區域邊界∂ Ω上滿足一定的邊界條件，通常有如下三類：

　　第一類：u=φ，

　　第二類：

　　第三類：

式中

表示外法向導數， φ、 g和 α是定義在∂ Ω上的已知函數。附加第一類和第二類邊界條件的問題分別稱為狄利克雷問題和馮·諾伊曼問題；有些問題在邊界不同區段滿足不同類的邊界條件，稱為混合邊值問題。

　　橢圓型邊值問題的求解，隻在很特殊情況下才能用解析方法，一般情況下實際有效的途徑是數值方法，差分法是其中一類。

　　差分法的思想和做法是，把定解區域剖分為網格，在網格結點上以差商代替微商或用某種插值方式，把微分方程化為包含有限個未知數的差分方程組。差分法直觀、簡易、能普遍用於各種類型的微分方程和任意形狀的區域。因為它包含巨大的運算量，所以隻在電子計算機問世之後，才得到廣泛的應用和發展。

　　從微分方程出發的差分化　網格剖分的一種最簡單又常用的做法是取平行於坐標軸的直線作為網格線，例如取x=ih，y=jl，h、l為步長，i、j取一切整數，這時網格結點為(ih，ji)。對方程(1)進行差分化、以U

表示差分近似解、 U ij表示 U在網格結點( ih， jl)上的分量。如果( ih， jl)是內結點，即鄰近四個網格結點都在 Ω上，則用中心二階差商代替二階微商代入(1)，即得相應的差分方程

\n

　 　　(2)

　　對第一類邊值問題，如果邊界結點正好落在∂Ω上，則取相應的邊界值即可。一般的情況如圖1

所示， ∂ Ω與網格線交於 N和 E，於是靠近邊界的結點 P可利用偏心差商建立差分方程：

式中 U( N)、 U( E)取邊界值， h 1， l 1是線段 PE、 PN的長度。

　　對第二、第三類邊值問題，可取Ω外最靠近∂Ω的一層網格結點為邊界結點，相應的差分方程可建立如下：設邊界結點P及其鄰近的邊界如圖2

所示， 過結點 P作∂ Ω的法線，它與∂ Ω和網格線分別交於 F和 Q，用差商 代替 F的外法向導數 ，其中 U( Q)利用網格結點 W和 E上的值作線性插值，即

，

代入第二類、第三類邊界條件，就得到邊界結點 P的差分方程。

　　還可以用其他插值方法作邊界處理。但是，這種對微分方程及其邊界條件分開處理的方法，對自共軛邊值問題，包括現在討論的最簡單的典型例子，所得差分方程組的系數矩陣一般都不具有對稱性。

　　從積分守恒原理出發的差分化　與平衡態或定常態緊密聯系的橢圓型邊值問題，在物理上表示某種守恒規律，在數學上表現為某種積分守恒形式。例如與方程(1)等價的積分守恒形式為

(3)

式中 D 是區域 Ω的任一子區域。假設定解區域 Ω為多邊形，對 Ω作任意三角剖分，然後過三角形的邊作中垂線，如圖3中的虛線所示。對應每個網格結點，都存在一個以中垂線為邊的多邊形。若以每個這樣的多邊形作為(3)中的積分區域 D，建立網格結點的差分方程。若 P是內結點，對應的 D如圖4所示，則(3)中左端的環路積分可作如下逼近：

(4)

若 P是邊界結點，對應的 D如圖5 所示，其中線段 P A與 P B落在邊界∂ Ω上，這時有

\n

\n

　　 (5)

對於(5)中的 可用第二、第三類邊界條件代入。對於第一類邊界條件， 須作某種插值處理。

　　對(3)的右端，作逼近

(6)

上述各式中的｜·｜表示線段的長度或區域的面積。把(4)、(5)、(6)的逼近公式代入(3)，就得到差分方程組。對第二、第三類邊值問題，這種差分化途徑在處理上統一，所得差分方程組的系數矩陣具有對稱性。

　　從變分原理出發的差分化　平衡態或定常態的物理問題，往往可用變分原理表達，即表示為一個極小值問題。例如微分方程(1)的第一邊值問題，就等價於泛函

(7)

在滿足第一類邊界條件的容許函數集上的極小解問題。對於第二、第三類邊值問題，對應的泛函為

，　　　(8)

而容許函數不必滿足任何邊界條件，第二、第三類邊界條件是極小解 u自然滿足的。因此，也稱之為自然邊界或自由邊界問題。

　　從變分原理出發進行差分化，其步驟是先對區域Ω作網格剖分，然後對積分(7)或(8)進行差分逼近，得到一個有限和式，它是定義在網格結點上的差分解的二次函數，它的極小解可歸結為解線性方程組，此方程組的系數矩陣恒具有對稱性。

　　差分方程組的求解　隨著差分法的實際應用，產生瞭在計算機上求解高階稀疏矩陣問題的種種方法，其中最簡單而且常用的是點松弛法。對代數方程組

點松弛法的一般迭代格式是

n是迭代序號， 是任意給定的初始值， ω是迭代參數。當系數矩陣對稱正定時，取0＜ ω＜2，則迭代恒收斂。當ω=1時，稱高斯-賽德爾迭代;當ω>1時，稱超松弛。對於五點格式的差分方程組(2)，存在一個最優的迭代參數 ＞1，與 ω =1相比，達到同樣精度的運算量從 O( N 2)階降為 O( N 3/2)階， N是網格點的總數。

　　差分方程組的求解，還有各種直接法和其他迭代法。直接法大多是高斯消去法的變形，其中心問題是如何采取適當的消去順序，使得在不影響解的精度的前提下，盡可能在運算量、存貯量及程序復雜性等方面得到好處或達到某種平衡。在迭代法方面，則還有切比雪夫迭代和共軛斜量法，它們也常作為加速手段與點松弛法結合使用。對於特殊形狀區域（如矩形域），則有高效的快速傅裡葉變換方法和交替方向法。特別引人註目的是近年發展起來的多重網格法，其運量可達到O(N)階。