矩陣

　　數學中最重要的基本概念之一，是代數學的一個主要研究物件，也是數學研究及應用的一個重要工具。由mn個數排成的m行n列的矩形表

　　 　

稱為 m× n矩陣，記作 A或 ，也可記作( α _ij)或 。數 稱為矩陣的第 i行第 j列的元素。當矩陣的元素都是某一數域 F中的數時，就稱它為數域 F上的矩陣，簡稱 F上的矩陣。當 m= n時，矩陣 A稱為 n階矩陣或 n階方陣，此時 α ₁₁， α ₂₂，…， α _nn稱為 n階矩陣的對角線元素，當所有的非對角線元素 α _ij( i≠ j)均為零時， A就稱為 n階對角矩陣，簡稱對角矩陣。當對角線下面(或上面)的所有元素均為0時， A就稱為上（或下）三角矩陣。

　　在m×n矩陣A中取k個行和k個列，k≤m，n；由這些行與列相交處的元素按原來的位置構成的k階行列式，稱為矩陣A的k階子式。一個n階矩陣A隻有一個n階子式，它稱為矩陣A的行列式，記作│A│或detA。

　　矩陣的運算　兩個矩陣隻有在其行數與列數均分別相同，而且所有相應位置的元素均相等時，才能稱為相等。隻有在兩個矩陣的行數與列數均分別相同時，才能進行加法。矩陣

與 相加而得和 ，其中

。數乘矩陣是指數域 F中任何數 α均可去乘 F上任意矩陣 而得積 ，即 α A仍為 m× n矩陣，其第 i行第 j列的元素為 αα _ij， i=1，2，…， m； j=1，2，…， n。隻有一個矩陣的列數等於另一個矩陣的行數時，這兩個矩陣才能進行乘法：一個 m× n矩陣 A=( α _ij)去乘一個 n× p矩陣 B=( b _ij)而得積 A B是一個 m× p矩陣 D=( d _ij)，其中

，即 A B的行數與 A的行數相同，而其列數與 B的列數相同。此種乘法規則也適用於分塊矩陣(即將元素劃分成若幹小矩陣塊的矩陣)。分塊時 A的列的分法應與 B的行的分法一致。矩陣運算有以下性質：

A+B=B+A；

A+(B+C)=(A+B)+C；

α(A+B)=αA+αB；

(α+β)A=αA+βA；

α(βA)=(αβ)A；

α(AB)=(αA)B=A(αB)；

A(BC)=(AB)C；

(A+B)C=AC+BC；

A(B+C)=AB+AC，

這裡 A、 B、 C表示矩陣， α表示數域 F中的數。

　　當一個m×n矩陣的全部元素均為0時，就稱為零矩陣，記作O_m×n。對於任意一個m×n矩陣A，恒有A+O_m×n=A；且恒有惟一的一個m×n矩陣B=(-1)A，使A+B=O_m×n，此B稱為A的負矩陣，簡記為-A。易知-A的負矩陣就是A，即-(-A)=A。

　　數域F上的所有m×n矩陣按上述矩陣加法和數乘矩陣運算，構成F上的一個mn維向量空間；F上的所有n階矩陣按矩陣的加法和乘法構成一個環，稱為F上的n階全陣環。F上的n階全陣環視為F上的n²維向量空間，就構成F上的n階全陣代數。

　　單位矩陣與逆矩陣　對角線元素都是1的n階對角矩陣，稱為n階單位矩陣，簡記為I_n。對於任意矩陣A_m×n與B_n×p，恒有

，對於任意 n階矩陣 A，恒有 A I _n= I _n A= A。若對於一個 n階矩陣 A，有一個 n階矩陣 B存在，使 A B= B A= I _n，則 B稱為 A的逆矩陣，記作 A ^-1。易知 B即 A ^-1是由 A惟一確定的。當 A有逆矩陣 A ^-1時， A ^-1也有逆矩陣且就是 A，即( A ^-1) ^-1= A。有逆矩陣的 n階矩陣，稱為非奇異矩陣；沒有逆矩陣的 n階矩陣，稱為奇異矩陣。當 A和 B都是 n階非奇異矩陣時，則 A B也是非奇異矩陣，且( A B) ^-1= B ^-1 A ^-1。這個等式用數學歸納法可推廣到任意有限多個 n階非奇異矩陣的情形。

　　轉置矩陣　一個m×n矩陣A的行與列的元素互換而得到的n×m矩陣，稱為A的轉置矩陣，記為A′或A^T。若A是一個n階方陣，且A′=A，則A稱為對稱矩陣。關於矩陣的轉置，有如下基本運算規律：(A′)′=A;(A+B)′=A′+B′；(αA)′=α(A′)；(AB)′=B′A′。

　　n階矩陣A=(α_ij)的元素α_ij在│A│中的代數餘子式A_ij(i，j=1，2，…，n)仍是數域F中的數，於是可作成如下的一個n階矩陣

，

並記為à ₀。矩陣à ₀，稱為 A的伴隨矩陣。由行列式的性質可知， A為非奇異矩陣，必要而且隻要 │ A│≠0，此時有 。

　　秩數與跡數　一個m×n矩陣A的每行可看成一個n元向量（即n元數列），稱為A的行向量。m×n矩陣A就有m個行向量，這m個行向量中的線性無關極大組所含向量的個數，即行向量的秩數，稱為A的行秩數。可類似定義A的列秩數。任意矩陣A的行秩數恒等於其列秩數，因此可簡稱為A的秩數。A的秩數等於A的非零子式的最大階數。一個n階矩陣A的對角線元素的和，稱為A的跡數。對任意n階矩陣A與B，(A+B)的跡數=A的跡數+B的跡數；(kA)的跡數=k（A的跡數），這裡k為某個數。

　　環上的矩陣　若用一個環R去代替數域F，則可定義R上的矩陣及其運算，而且上述有關數域F上的內容，絕大部分都可以推廣到R上，尤其當R是一個有單位元素1的交換環，甚至是一個域時，則上述的全部內容可以推廣到R上。R是一個域或復數域F上的多項式環F[λ]的情形最為有用。

　　若A=(α_ij)是復數域F上的一個n階矩陣，I是n階單位矩陣，則A、I以及λI-A都可視為多項式環F[λ]上的n階矩陣

稱為 A的特征矩陣。其行列式| λI- A|是 F[ λ]中的一個首項系數為1的 n次多項式 (－1) ⁿ b ₀，其中 b _n-1恰為 A的跡數， b ₀恰為| A|， f( λ)=| λI- A|稱為 A的特征多項式，其根稱為 A的特征值或特征根。 λ ₀為 A的一個特征值，必要而且隻要有 F上非零的 n元列向量 ξ即 n行1列的矩陣，使 λ ₀ ξ= A ξ。此 ξ稱為 A的屬於 λ ₀的一個特征向量。 A的屬於不同特征值的特征向量，恒在 F上線性無關。

　　對於F[λ]中任意一個m次多項式

，可以用 F上任意一個 n階矩陣 A去代替 λ而引出一個 n階矩陣 ，其中 I為 n階單位矩陣。所謂凱萊－哈密頓定理，即如果 f( λ)是 F上 n階矩陣 A的特征多項式時，那麼恒有 f( A)= O _n，其中 O _n為 n階零矩陣。由此可知，對於 F上任意 n階矩陣 A，必存在唯一的首項系數為1的多項式 φ( λ)使 φ( A)= O _n。對於任意的多項式 g( λ)， g( A)= O _n必要而且隻要 φ( λ)| g( λ)(即 φ( λ)能整除 g( λ)）。此 φ( λ)就稱為 A的最小多項式。

　　矩陣的等價　對矩陣A的行與列或僅對行或僅對列施以若幹次初等變換而得到矩陣B，稱為A等價於B，記為A≌B。矩陣之間的這個關系具有反身性、對稱性和傳遞性，所以它是一種等價關系。矩陣的等價是在討論一個向量空間到另一個向量空間的線性變換的各種矩陣表示問題中產生的。所謂矩陣的初等變換，是指以下的任何一種變換：①用F中任意的一個不為零的元素α去乘矩陣的第i行(列)；②把矩陣的第i行（列）的b倍加於第j行(列)，其中b為F中任意元素；③互換矩陣的第i與第j行(列)，並分別稱為第一、第二、第三種初等變換。

　　對F上的單位矩陣I進行一次初等變換後所得出的矩陣，稱為初等矩陣。一種初等變換對應於一種初等矩陣。對矩陣A的行施以某種初等變換的結果，恰等於用相應的初等矩陣去左乘A;對A的列施以某種初等變換的結果，恰等於用相應的初等矩陣去右乘A。初等矩陣恒為可逆的，且其逆矩陣仍是同一種初等矩陣，因此初等矩陣的積恒為非奇異矩陣。由此可知，等價矩陣的秩數相同，或者說初等變換不改變矩陣的秩數。於是，經若幹次初等變換後，必可將每個秩數為r的矩陣的左上角化為r階單位矩陣，而其他位置都化為0。n階非奇異矩陣恒等價於n階單位矩陣，恒可表為若幹個初等矩陣之積。因此，A≌B必要而且隻要有非奇異矩陣P、Q使PAQ=B。

　　多項式環F[λ]上的矩陣

，簡稱為 λ矩陣。在 F[ λ]上也可定義行列式。 A( λ)的秩數定義為 A( λ)的最大非零子式的階數。對λ矩陣也可進行初等變換，在第一種初等變換中隻能使用F中非零的 α，而不能用 F[ λ]中非零的 f( λ)；第二種初等變換中則可用 F[ λ]中任意的 g( λ)去代替 b。也可以定義可逆性，對於 λ矩陣 P( λ)若有 λ矩陣 K( λ)使 P( λ) K( λ)= K( λ) P( λ)= I，則稱 λ矩陣 P( λ)是可逆的， λ矩陣 K( λ)則稱為 P( λ)的逆矩陣。也可以定義 λ矩陣的等價。秩數為 r的 λ矩陣 A( λ)必等價於所謂 A( λ)的法式即 λ矩陣：

，

這裡的諸 φ _i( λ)均由 A( λ)惟一確定，且 φ ₁( λ)| φ ₂( λ)|…| φ _r( λ)，首項系數均為1。

　　由此可知，一個n階λ矩陣P(λ)是可逆的，必要而且隻要P(λ)為若幹個與λ矩陣的初等變換相應的初等矩陣的積；必要而且隻要其行列式為F中的非零元素。兩個λ矩陣A(λ)_m×n，B(λ)_m×n是等價的，必要而且隻要有可逆λ矩陣P(λ)、Q(λ)使P(λ)A(λ)Q(λ)=B(λ)。A(λ)的法式中的諸多項式φ_i(λ)，都稱為A(λ)的不變因子，且可作如下分解：

式中諸 e _j( λ)是 F[ λ]中首項系數為1的互不相同的既約多項式； n _ij為非負整數，且最後一行中的 n _{1 r}， n _{2 r}，…， n _{k r}均非零，並有 。這些因子 ，除去指數 n _ij=0者，都稱為 A( λ)的初等因子。 必要而且隻要它們的法式相同；必要而且隻要它們的全部不變因子一致；必要而且隻要它們的秩數與全部初等因子一致。

　　矩陣的相似　對於域F上兩個n階矩陣A、B，若有非奇異矩陣P，使P^-1AP=B，則稱為A相似於B，記為A～B。矩陣之間的這個關系，具有反身性、對稱性和傳遞性，所以它是一種等價關系。矩陣的相似是在討論一個向量空間到自身之間的線性變換的各種矩陣表示問題中產生的。域F上兩個n階矩陣A與B相似，必要而且隻要特征矩陣(λI-A)與(λI-B)在F[λ]上等價。λI-A的不變因子與初等因子，分別稱為A的不變因子與初等因子。特征矩陣λI-A的秩數，即A的階數n。因此，在F上的兩個n階矩陣A與B相似，必要而且隻要它們的初等因子一致。當F是一個代數封閉域時，F[λ]中的首項系數為1的既約多項式隻能是形如(λ-α)的一次式，所以此時F上的一個n階矩陣A的全部初等因子必為如下的一些多項式：

式中 α ₁， α ₂，…， α _k互不相同， k≥1；所有指數Л ₁，Л ₂，…，Л _r，…； n ₁， n ₂，…， n _t之和為 n。對於每個形如 的多項式，可以惟一確定一個所謂若爾當小塊，即 h階矩陣：

，

它隻有一個初等因子，而且就是 。設上述 n階矩陣 A的全部初等因子的若爾當小塊分別是 J ₁， J ₂，…， Jυ， v= r+ s+…+ t，用這 v個小塊來合成一個 n階對角分塊矩陣

。

於是 A～ J，而且除諸小塊的次序外， J是由 A所惟一確定的。 J稱為 A的若爾當標準形式。由此可知，隻要找出 A的全部初等因子即可求得 A的若爾當標準形式。要找出 A的全部初等因子有一個較簡捷的方法，即不必把 λI- A化成法式，而先把 λI- A通過初等變換化成對角矩陣，其對角線上的全部多項式不一定恰是 A的全部不變因子，隻要將其中每個非常數多項式的首項系數化為1，再分解因子，即可象從不變因子求出初等因子那樣得出 A的全部初等因子。

　　設N是任意域F上的一個方陣，若有正整數m使N^m=0，則N稱為一個冪零矩陣。例如，把上述若爾當小塊中的α全換成0得出的h階矩陣N，就是一個冪零矩陣，因為N^h=0。

　　若F上的方陣K具有性質K²=K，則稱K為一個冪等矩陣。例如單位矩陣就是一個冪等矩陣。由直接計算可知，對F上任意多項式f(λ)，有

。因此，與冪零矩陣相似的矩陣仍為冪零矩陣；與冪等矩陣相似的矩陣仍為冪等矩陣。

　　實數域上一個非奇異矩陣T若具有性質T′=T^-1(T′是T的轉置矩陣)，則稱為一個正交矩陣。例如解析幾何裡直角坐標旋轉公式的系數矩陣就是正交矩陣。一個正交矩陣的轉置矩陣（即其逆矩陣）仍為正交矩陣；兩個同階的正交矩陣的積仍為正交矩陣。實數域上任意一個對稱矩陣A，恒可通過適當的正交矩陣T而相似於對角矩陣D，即D=T^-1AT=T′AT，且D的對角線上的實數就是A的全部特征根。

　　復數域上的一個非奇異矩陣U若具有性質ū′＝U^-1或U′＝(ū)^-1(ū′為U的共軛轉置矩陣)，就稱為一個酉矩陣。一個酉矩陣的共軛矩陣仍為酉矩陣；一個酉矩陣的轉置矩陣仍為酉矩陣；一個酉矩陣的共軛轉置矩陣(即其逆矩陣）仍為酉矩陣；兩個同階的酉矩陣的積仍為酉矩陣。復數域上凡滿足

的矩陣 A，稱為埃爾米特矩陣。實對稱矩陣作為復數域上的矩陣時，就是埃爾米特矩陣。任意一個埃爾米特矩陣 A，恒可通過適當的酉矩陣 U而相似於實對角矩陣 D，即 D= U′ Aū，且 D的對角線元素恰為 A的全部特征根。一個正交矩陣作為復數域上的矩陣時，也是一個酉矩陣。

　　矩陣的合同　當矩陣A經過若幹套初等變換而化為矩陣B時，則稱為A合同於B，記為

。矩陣之間的這個關系具有反身性、對稱性和傳遞性，所以它是一種等價關系。矩陣的合同是在討論用(對稱)矩陣表示二次型的問題中產生的。

　　所謂一套初等變換，是指將某一種初等變換首先對一個矩陣的第i列（行）施行而得一矩陣，然後再對此所得矩陣的第i行(列)施行又得一矩陣。第一、二、三套初等交換，分別由第一、二、三種初等變換組成。

　　兩個n階矩陣A與B合同，必要而且隻要有非奇異矩陣P使P′AP＝B。與對稱矩陣合同之矩陣仍為對稱矩陣。每個秩數為r的實對稱矩陣A恒合同於一個對角矩陣，其對角線上有p個1與q個-1；其他的對角線元素均為0，這裡p≥0，q≥0，p+q=r，而且p與q都是由A所惟一確定的。實對稱矩陣的特征根恒為實數。實對稱矩陣A能合同於而又相似於一個對角矩陣，其對角線元素恰為A的全部特征根。與單位矩陣合同的實對稱矩陣，稱為正定矩陣。對於n階實對稱矩陣A，以下命題是等價的：A為正定矩陣；有非奇異矩陣Q使

； A的所有主子式均為正實數； A的所有 i階主子式之和 S _i均為正實數( i=1，2，…， n)； A的所有左上角的主子式均為正實數; A的所有特征根均為正實數； A所相應的二次型為正定型。

　　對一個復數方陣施以第一套初等變換，就是用不為零的α乘i行，再用ā乘第i列；施以第二套初等變換，就是把第i行的b倍加於第j行，再用第i列的姼倍加於第j列；施以第三套初等變換仍然是互換第i和第j兩行，再互換第i和第j兩列。若對復數方陣A施以上述的若幹套初等變換而得方陣B，則稱為A能h合同於B。矩陣的h合同關系具有反身性、對稱性和傳遞性，所以它是一種等價關系。兩個n階復數矩陣A與B是h合同的，必要而且隻要有非奇異矩陣P使P′Ap＝B。與埃爾米特矩陣是h合同的矩陣仍為埃爾米特矩陣。每個埃爾米特矩陣A恒h合同於一個對角矩陣，其對角線上有p個1與q個－1，其他元素均為0，這裡p≥0，q≥0，p+q為A的秩數，而且p、q均是由A所惟一確定的。埃爾米特矩陣的特征根恒為實數。埃爾米特矩陣A不僅恒能h合同於一個對角矩陣，而且必能相似於一個對角矩陣，此時其對角線元素恰為A的全部特征根。與單位矩陣是h合同的埃爾米特矩陣，稱為正定埃爾米特矩陣。對於一個n階埃爾米特矩陣A，以下命題是等價的：A為正定埃爾米特矩陣；有非奇異矩陣Q使

; A的所有主子式為正實數; A的所有 i階主子式之和 S _i，均為正實數( i=1，2，…， n)； A的所有左上角的主子式均為正實數; A的所有特征根均為正實數; A所相應的埃爾米特二次型是正定埃爾米特二次型。復數域上的一個方陣 A若滿足 AĀ′=Ā′ A(即 A與Ā′可交換)就稱 A為正規矩陣。實對稱矩陣、埃爾米特矩陣、正交矩陣與酉矩陣都是正規矩陣。每個復數方陣 A均可表為 A= h ₁+ i h ₂，其中 h ₁與 h ₂均為由 A所惟一確定的埃爾米特矩陣，此時 A為正規矩陣必要而且隻要 h ₁與 h ₂可交換。正規矩陣 A與Ā′有相同的特征向量。一個復數方陣 A為正規矩陣，必要而且隻要有酉矩陣 U使 U ^-1 A U為對角矩陣。

　　矩陣的理論起源，可追溯到18世紀，見於著作則是在19世紀。A.凱萊在1858年引進矩陣為一個正方形的排列表，且能進行加法與乘法運算，於是人們就把A.凱萊作為矩陣論的創始人。然而在此之前，C.F.高斯在1801年與F.G.M.艾森斯坦在1844～1852年就早已先後把一個線性替換(即線性變換)的全部系數作為一個整體，並用一個字母來表示。艾森斯坦還強調乘法的次序的重要性，指出ST與TS未必相同。與艾森斯坦同時的C.埃爾米特以及稍後的E.N.拉蓋爾和F.G.弗羅貝尼烏斯也都先後發展瞭線性替換的符號代數。弗羅貝尼烏斯較豐富的工作於1877年發表在最早的數學雜志之一的《克雷爾雜志》上。矩陣的相似標準形，矩陣的合同標準形，矩陣的求逆，矩陣的特征值與廣義特征值等是矩陣論的經典內容；矩陣方程論，矩陣分解論，廣義逆矩陣等是矩陣論的現代內容。矩陣及其理論在現代科學技術的各個領域都有廣泛的應用。