解析函數項級數

　　由解析函數組成的級數。在實分析中，可導函數的一致收斂級數不一定可導。例如由外爾斯特拉斯定理知道，在[α，b]上連續的任何函數可表示為一致收斂的多項式級數。在複分析中有不同的結果：一致收斂的解析函數項級數是解析函數。

　　設f_n(z))(n=1，2，…)是在區域D內連續的函數。如果對任何緊集K⊂D以及任何ε>0，存在著正整數N=N(K，ε)，使得對n≥N及任何z∈K，

，則稱級數 （簡寫為 ）在 D內任何緊集上一致收斂。如果對任何緊集 K⊂ D，級數 收斂，則稱 在 D內任何緊集上正規收斂。正規收斂性在應用中是常見的；顯然，如果 在 D內任何緊集上正規收斂，那麼它在這種集上一致收斂。

　　應用柯西公式（見柯西積分定理），K.外爾斯特拉斯證明瞭下列定理：設f_n(z)(n=1，2，…)在區域D內解析，如果

在 D內任何緊集上一致收斂，那麼它的和 f( z)在 D內解析，而且在 D內， ，此式右邊的級數在 D內任何緊集上一致收斂。如果 在 D內任何緊集上正規收斂，那麼級數 在 D內任何緊集上也正規收斂。

　　形如

(簡記為 ，式中 α _n和 z ₀為復數)的級數是一種特殊的解析函數項級數，稱為冪級數。

　　對於這種級數有下列阿貝爾引理：設

在 z ₁≠ z ₀收斂。則對滿足 的任何 z，級數絕對收斂。

　　由這引理出發，可以證明任何冪級數

屬於下列三種情況之一。

　　① 存在著有限正數R;級數在圓盤|z-z₀|＜R內絕對收斂而且在這圓盤內任何緊集上正規收斂;當|z-z₀|>R時，級數發散。這時R稱為級數的收斂半徑，|z-z₀|＜R稱為收斂圓盤，|z-z₀|=R稱為收斂圓周。

　　② 對任何z≠z₀，級數發散；這時稱級數的收斂半徑為0。

　　③ 對任何z，級數收斂，從而在任何緊集上正規收斂；這時稱級數的收斂半徑為+∞。

　　由外爾斯特拉斯定理，在第一種情況下，冪級數在收斂圓盤內解析，並且可逐項求導數；在第三種情況下，冪級數表示一整函數(即在整個有限復平面解析的函數)，並且可在有限復平面內逐項求導數。

　　在第一種情況下，冪級數在其收斂圓上的點可能收斂，也可能發散。例如

的收斂半徑都是1，而在收斂圓周上，第三個級數處處收斂；第一個級數處處發散；第二個級數在－1收斂，在1發散(可證明它在收斂圓周上除去1外處處收斂)。對於在圓周上某些點收斂的冪級數，有下列阿貝爾－施托爾茨定理：設冪級數 有收斂半徑 R(0＜ R＜+∞)，並且它在收斂圓周上一點 z ^*收斂。作以 z ^*為頂點、以 z ₀及 z ^*的聯線為平分角線，並且角度小於π的角。那麼當 z在收斂圓盤內且在這角域內趨近於 z ^*時，有

。

　　冪級數

的收斂半徑 R可以用下列柯西-阿達馬公式求出：

；

當上式右邊中分子為+∞時， R=0；當它為0時， R=+∞。