解析函數邊界性質

　　以複變函數論為基礎結合實變函數論研究解析函數的邊界性質，與調和函數的邊界性質有緊密的聯繫，主要研究單位圓內和一般區域內種種解析函數族的邊界性質。

　　設函數f(z)在單位圓｜z｜＜1內解析，記

如果0＜ p≤∞， M _p( r， f)對一切0≤ r＜1有界，稱 f( z)屬於哈代函數族 H ^p；如果

對一切0≤ r＜1有界，稱 f( z)屬於奈望林納函數族 N，這裡，若 α≥1， log ⁺ α= log α；若 α＜1， log ⁺ α=0。

　　設f(z)是平面區域D內的解析函數，ζ是邊界дD上的給定點，如果當z在D內以ζ為頂點的任何角形區域內趨於ζ時，f(z)都趨向於一確定值，稱f(z)在邊界點ζ處有非切向極限值，記為f(ζ)。如果在 дD上除一測度為零的點集外，處處有非切向極限值，稱f(z)在дD上幾乎處處有非切向邊界值f(ζ)。

　　邊界性質與域內性質　一類問題是，利用解析函數的域內性質（比如函數模在區域內的增長性）研究其邊界性質。P.J.L.法圖(1906)和F.（F.）裡斯(1923)分別對p=∞和0＜p＜∞證明：若f(z)∈H^p，則f(z)幾乎處處有非切向邊界值f(e^iθ)，|f(e^iθ)|∈L^p[0，2π]，log|f(e^iθ)|∈l¹[0，2π]除非f(z)≡0，並且對[0，2π]上的任何正測度集E，

1922年R.奈望林納證明：若f(z)∈N且f(z)扝0，則f(z)幾乎處處有非切向邊界值f(e^iθ)，並且log|f(e^iθ)|∈l¹[0，2π]。另一類問題是，利用解析函數的邊界性質判斷其域內性質。1917年И.И.普裡瓦洛夫證明：設f(z)在|z|＜1內解析，f(z)扝0，若在單位圓周的一個正測度集E上，其非切向邊界值f(e^iθ)為零，則f(z)≡0。又若f(z)∈h¹，則f(z)在圓內的值可通過圓周的一個正測度集E上的邊界值表示出來。這是Γ.М.戈盧津和Β.И.克雷洛夫1933年的結果。

　　積分表示問題　單位圓|z|＜1內解析函數f(z)可表示成φ∈l^p[0，2π](1≤p≤∞)的泊松積分

的充分必要條件是： f( z)∈ H ^p。

　　構造問題　裡斯在1923年證明：若

且 f( z)扝0，則 f( z)= B( z) F( z)，這裡 B( z)是 f( z)在| z|＜1內所有零點{ z _n}所組成的W.J.E.佈拉施克乘積，

F( z)∈ H ^p且 F( z)≠0；若 f（ z）∈ N，則 f( z)= B( z) g( z)， g( z)∈ N且 g( z)≠0。1929年 Β.И.斯米爾諾夫進一步證明，單位圓內解析函數 f( z)∈ H ^p( p＞0)的充要條件是： f( z)可以分解成

這裡 B( z)是 f的佈拉施克乘積， S( z)是奇異內函數， F( z)是 H ^p的外函數，並且

式中 m是非負整數， ； μ( t)是非減的有界變差函數，其導函數幾乎處處等於零； ψ（ t）>0， ψ∈ l ^p，In ψ( t)∈ l ¹[0，2π]，у是一實數。特別當 f∈ h ^p時， ψ( t)幾乎處處等於 。這種分解還是惟一的。又單位圓內解析函數 f( z)∈ N的充要條件是 f( z)可分解成

，

這裡 B( z)是 f的佈拉施克乘積， S ₁( z)和 S ₂( z)分別是奇異內函數， F( z)是 N的外函數，其中 ψ( t)≥0，ln ψ( t)∈ l ¹[0，2π]。特別若 f∈ N，則 ψ( t)幾乎處處等於 。

　　一般區域的情形　設D是邊界多於一點的單連區域，若在D內存在可求長的若爾當閉曲線C₁，C₂，…，{C_n}趨於邊界дD，使得

，

則稱 f∈ E ^p（ D）。若邊界是可求長的若爾當曲線 C，則 E ^p( D)中每個函數 f( z)在 C上幾乎處處有邊界值 f( ζ)，並且 ；如果邊界值函數 f( ζ)在一正測度集上等於零，則 f( z)在 D內必為零。若 f∈ E ¹( D)，則對 D內的 z， ；反之，若 g在 C上可積，並且 ，則

，且在 C上幾乎處處以 g( ζ)為邊界值。

　　解析函數邊界性質的理論是H^p空間理論的基礎和重要組成部分，對多復變數解析（全純）函數邊界性質的研究有深刻的影響，在奇異積分方程、解析函數的邊值問題和彈性力學及斷裂力學中都有廣泛應用。