研究線性偏微分方程Pu=f在什麼條件下局部有解存在。若P是常係數運算元，則由基本解的存在而保證Pu=f一定局部有解。在變係數情況下，柯西-柯瓦列夫斯卡婭定理證明瞭很大一類解析的方程必然局部地有解析解存在。於是人們以為變係數線性偏微分方程也和常系系數情況一樣，隻要不是過於“奇異”，總是局部可解的。因此，當H.盧伊在1957年發現方程
，在
f僅隻屬於
C
∞而非解析的情況可以無解（甚至沒有廣義函數解）時，引起瞭很大的震動。從而提出瞭局部可解性問題。
局部可解性的一種定義是，方程Pu=f當f屬於C∞(Rn)的某個餘維數有限的子空間時，在Rn的某個緊集K附近恒有解u∈D′(Rn)存在，就說P在K中可解。這裡P既可以是線性偏微分算子，也可以是擬微分算子。
20世紀60年代以來，許多數學傢討論過這個問題。設P的象征是復值函數p(x，ξ)=Rep(x，ξ)+iImp(x，ξ)。一個重要的條件是
(ψ)：在Rn的開集U中不存在C∞(T*U-0)中的正齊性復值函數q(x，ξ)使Im(qp)沿著Re(qp)的次特征Г 的正方向由負值變號為正值，這裡q(x，ξ)≠0（於Г上）。
所謂一個函數
的次特征，指的是
的積分曲線。所謂正方向是指
t增加的方向。可以證明，條件(ψ)是
P
u=
f在一點附近局部可解的必要條件；在某些情況下特別是主型算子情形也是充分條件。然而，在一般情況下，條件(ψ)對於局部可解性是否是充分的仍未解決。
總之，局部可解性問題仍然是線性偏微分算子理論中尚未完全解決的重要問題。