譜論

　　泛函分析中研究運算元的譜的理論。運算元的譜的概念是有限維矩陣的特徵值概念的推廣。力學、物理和工程技術中的大量問題在一定的條件下可以歸結為數學上代數方程、微分方程、積分方程或微分積分方程等的求解問題。在對這些方程求解問題的研究獲得豐富成果的基礎上，逐漸形成瞭一般的運算元的譜的理論（這裏主要指線性運算元）。

　　數學上各類線性方程的求解問題可以概括為某個拓撲線性空間X上的方程(λI-T)xx=y的求解，這裡T是X上已知的線性算子，I為X的單位算子，

λ 是一個復參數。當 X是有限維空間（例如維數為 n）時， T可表示為一個 n階方陣，而上面的方程就是 n階線性方程組。在線性代數中，已經完全解決瞭它的求解問題，主要結果有：上述方程對一切 y∈ X有解當且僅當 λ 不是 T的特征值，而且這時解有惟一的形式 x=( λI- T) ^-1 y。對 λ 是 T的特征值的情況，也給出 y應滿足什麼條件才能使上述方程有解和解的一般表達式。當 X是無限維空間時，問題變得復雜多瞭。1900～1903年， （E.）I.弗雷德霍姆研究瞭具有連續核的積分方程 ， 得到瞭與有限維空間情形相類似的結果。後來， F.（F.）裡斯、J.P.紹德爾建立瞭巴拿赫 全連續算子的弗雷德霍姆理論。1904～1906年 D.希爾伯特考察瞭具有對稱核(即 )的積分方程，後來又有瞭一般的有界自共軛算子的譜理論。20年代 J.馮·諾伊曼為適應量子力學的需要，發展瞭希爾伯特空間上（無界）自共軛算子的譜理論並得到瞭酉算子和正常算子的譜分解定理。由於各種非交換的關系研究需要，40年代以後對希爾伯特空間上各種非正常算子的研究也陸續開始，並取得瞭豐富的成果，已成為現代線性算子譜論的重要方面。另一方面，關於巴拿赫空間上算子的譜論，自從1913年F.裡斯的研究以來，也取得瞭一系列的成果（見 譜算子）。

　　預解集和譜　巴拿赫空間上線性算子譜點的概念是有限維矩陣特征值概念的推廣。設T是巴拿赫空間，X到X的線性算子，定義域為D(T)，

λ為復數。如果( λ I- T)有定義在全空間 X上的有界的逆算子，那麼稱 λ 是算子 T的正則點。 T的正則點全體稱為 T的預解集，記為ρ( T)。ρ( T)的餘集 C\ρ( T)稱為 T的譜集，簡稱為譜，記為 σ( T)。因此 σ( T)是由那些使( λI－ T)沒有定義在全空間上的有界的逆算子的復數 λ 全體組成。 σ( T)中的復數稱為 T的譜點。 T的譜點有以下幾類：①( λI- T)沒有逆算子，這時 X中必存在 x≠0，使( λI- T) x=0，稱這種 λ 為 T的點譜(或特征值)，其全體記為 σ _p( T)。②( λI－ T)沒有有界的逆算子，這時必存在 x _n∈ X，‖ x _n‖=1使‖( λI- T) x _n‖→0，稱這種 λ 為 T的近似點譜，其全體記為 σα( T)。③( λI- T)有有界逆算子，但不定義於全空間，稱這種 λ 為 T的剩餘譜，其全體記為 σ _r( T)。④( λI- T)有稠定逆算子，而逆算子是無界的，稱這種 λ 為 T的連續譜，其全體記為 σ ₀( T)。

　　當T是巴拿赫空間X上稠定閉算子時，ρ(T)必是復平面上開集，從而σ(T)是閉集，(λI-T)^-1是定義在ρ(T)上的算子值解析函數，稱為T的預解式，常記為R(λ，T)。在點λ₀∈ρ(T)的附近R(λ，T)必有展開式

，

而且對 λ ， μ∈ ρ( T)，成立預解式方程

。

　　譜半徑　當T是巴拿赫空間X上有界線性算子時，σ(T) 必是一個有界非空閉集。稱r(T)=sup{|λ| |λ

∈ σ( T)} 為 T的譜半徑，且有著名的譜半徑公式：

。如果 r( T)=0，那麼稱 T是廣義冪零算子。冪零算子 T(即存在自然數 k，使 T ^k=0)必是廣義冪零算子。對希爾伯特空間上正常算子 N，有 r( N)=‖ N‖。

　　譜測度　設(

，B)是一個可測空間， B是一個 σ代數(見 測度論)， E是定義在 B上取值為希爾伯特空間 h上投影算子的映射；如果滿足① E( )= I，②可列可加性(若{ M _n}是B中一列互不相交的集合，則成立

，那麼稱 E為( ，B)上譜測度，( ，B， E)為 h上的譜測度空間。

　　設(

，B， E)是 h上一個譜測度空間， f是( ，B)上可測函數。如果存在 h上算子 F，使對一切 x， y∈ h成立 (也記作 ，上式右邊表示 f關於由 定義的復測度 的積分），就稱 F是 f關於 E的譜積分，記為 或 。

　　譜測度的支集　設

是 n維歐幾裡得空間 R ⁿ，B是 R ⁿ上波萊爾集全體，( R ⁿ，B， E)是希爾伯特空間 h上譜測度空間。如果有 R ⁿ中開集 G，使得 E( G)=0，則必有按集的包含關系為最大的開集 G ₀，使得 E( G ₀)＝0。稱閉集 σ= R ⁿ- G ₀為 E的支集，記為 supp E，換言之， σ是滿足 E( s)＝ I中（按包含關系為）最大的閉集，形象地說即譜測度 E集中在閉集sup p E上，並且 E不能集中在比 supp E更小的閉集上，易知譜積分 。

　　對於

是拓撲空間，B是 上波萊爾集或貝爾集全體，在適當假設下就能將譜測度支集的概念推廣到( ，B， E)的情況。

　　譜系　類似於單調增加右連續的（點）函數與勒貝格-斯蒂爾傑斯測度（集函數）的關系，對於譜測度（集的投影算子值函數）與“單調增加右連續的”（點）投影算子值函數也存在。下面以

= R ¹（實直線）為例：設( R ¹，B， E)是希爾伯特空間 h上的譜測度空間，規定 E _λ= E((-∞， λ])，( λ∈(-∞，∞))，這時函數 E _λ滿足①單調性，當 λ ≥ μ時， E _λ≥ E _μ，②右連續性，當 λ _n＞ λ ， λ _n→ λ 時， 強收斂於 E _λ，③規范性，當 λ →-∞時， E _λ強收斂於0；當 λ →+∞時， E _λ強收斂於 I。稱滿足①～③的 E _λ為相應於 E的譜系。反之，任何滿足①～③的函數 E _λ必是惟一地相應於某個譜測度 E的譜系。對於有譜系的譜積分 又常寫作 或 。

　　譜分解定理　設h是復希爾伯特空間，N是h上正常算子。則必存在定義在復平面

C(視為 R ²) 所有波萊爾集上譜測度 E，使得 。如果 σ( N)是 N的譜集，則 E的支集就是 σ( N)，即 。

　　正常算子的譜分解定理實際上是n維復線性空間上正常矩陣對角化理論在無限維復希爾伯特空間上的推廣。它刻畫瞭正常算子的結構，許多正常算子的重要性質可由它導出，例如①

λ∈ σ( N)的充要條件是對任何 λ 的鄰域 O， E( O)≠0；② λ是 N的特征值的充要條件是單點集{ λ }的譜測度 E({ λ })≠0；③ λ是 N的正則點的充要條件是存在 λ 的鄰域①，使得 E( O)=0；當 λ ₀是 N的正則點時， ；④ h上有界線性算子 A和 N可交換的充要條件是對任何 M∈B， AE( M)= E( M) A等。

　　對於特殊的正常算子，例如對酉算子U，必存在[0，2π］上譜系

（即 是定義在［0，2π］上單調增加右連續，並且 E ₀＝0， E _2π＝ I的投影算子值函數），使得

；而對自共軛算子 A，必存在定義在 R ¹上譜系 E _λ，使得 。

　　算子演算　對希爾伯特空間h上正常算子N，有譜測度空間(σ(N)，B，E)，這時對σ(N)上定義的復值有界波萊爾可測函數f，定義

，那麼映射 f f( N)有如下性質：

　　① 埃爾米特性　

，這裡 ；

　　② 線性　

；

　　③ 可乘性　(fg)(N)=f(N)g(N)；

　　④

。

　　此外，有譜映射定理：對希爾伯特空間h中的正常算子N，若f為σ(N)上的連續函數，那麼有σ(f(N))=f(σ(N))。

　　廣義特征分解　若希爾伯特空間h上自共軛算子A滿足σ_p(A)=σ(A)（即A

的譜都是特征值）。那麼必有特征展開式 ，式中{ e _v}是 h 的完備就范正交系，並且 e _v是相應於特征值 λ _v的特征向量。特征展開式（離散和的形式）比譜分解式（連續和的形式）更為簡便。在吸收瞭廣義函數論方法的基礎上，引出瞭一般自共軛算子的廣義特征分解的概念。

　　設l²(Rⁿ)是n維歐幾裡得空間Rⁿ上關於勒貝格測度平方可積函數全體所成的希爾伯特空間。A是L²(Rⁿ)上的自共軛算子，定義域D(A)包含基本函數空間K(見廣義函數)，而且是K到K中的連續線性算子。又設當φ∈D(A)時，必有

，而且 。 A在 K的共軛空間 K′上的共軛算子 A′定義為：( A′ψ， φ)=(ψ， A φ)。如果對實數 λ ，有F∈ K′， F≠0，使 A′ F= λF，就稱 λ 是 A的廣義特征值， F是相應的廣義特征向量。當F∈ D( A)時，廣義特征值和廣義特征向量就是通常的特征值和特征向量。

　　如果存在A的特征值系{

λ _v}和相應的就范正交特征向量系{ f _v}以及存在實直線上波萊爾集系{ B _n}， B _n中每點 λ 為 A的廣義特征值，相應的廣義特征向量為 f _λ，使得對任何 φ，ψ∈ K，( f _λ， φ)是 B _n上波萊爾可測函數，且 。那麼就稱 組成瞭 A的完備就范正交廣義特征向量系。這時有如下的廣義特征展開：

，

。

　　作為例子：如果A是l²(R¹)中乘法算子：(Af)(x)=xf(x)，顯然A在l²(R¹)中沒有特征向量。而廣義函數族{δ(x-

λ )| λ ∈(-∞，∞)}卻構成瞭 A的完備就范正交廣義特征向量系。對一般的希爾伯特空間中自共軛算子，也有類似的廣義特征分解。

　　簡言之，所謂廣義特征展開，實質上就是原來在希爾伯特空間上不是特征值的那些譜點，在適當擴大瞭的空間（相當於廣義函數空間）上變成瞭特征值，並找到相應的（廣義）特征向量和展開式。

　　巴拿赫空間上有界線性算子的譜分解　對巴拿赫空間上線性算子，一般說來，還沒有類似於正常算子的譜分解定理這樣深刻的結果。作為希爾伯特空間上投影算子的推廣，在巴拿赫空間有平行投影的概念。設X是巴拿赫空間，M和N是X的兩個閉子空間，如果任何x∈X可以唯一地表示為x=y+z，其中y∈M，z∈N，就稱X是M和N的直和，記為X=M+N。這時定義算子E：Ex=y，稱算子E是X到M上(平行於N)的平行投影，簡稱為X上投影算子。E是X上投影算子當且僅當E是X上有界的冪等算子，即滿足E²=E的有界線性算子。

　　鄧福德－裡斯分解定理　設T是巴拿赫空間X上的有界線性算子，若σ是σ(T)的子集，且σ和σ′=σ(T)\σ都是閉集，那麼有X的直和分解X=M+N，使M，N都是T的不變子空間，而且σ(T｜M)=σ，σ(T｜N)=σ′。這時存在一個包含σ在其內部而σ′在其外部的簡單的可求長的若爾當曲線C，

，使 X到 M上平行於 N的投影 E正好是 。

　　解析函數演算　設T是巴拿赫空間X上有界線性算子。f是在σ(T)的一個鄰域中解析的復值函數。取一個包含σ(T)於內部的簡單的可求長若爾當曲線C，C含於f的解析區域中，定義

。 f( T)是一個有界線性算子，而且映射 f f( T)也有類似於正常算子的算子演算的性質②、③和對應的譜映射定理。

　　有關巴拿赫空間上全連續算子譜理論和其他有關結果（見全連續算子、譜算子、線性算子擾動理論）。

　　

參考書目

　N.Dunford and J.T.Schwartz，Linear Operators，Vol.1～2，Interscience，New York，1958，1963.