平穩過程

　　統計特性不隨時間的推移而變化的隨機過程。例如，一臺穩定工作的紡紗機紡出的紗的直徑大小，受各種隨機因素影響，在某一標準值周圍波動，在任意若幹時刻處，直徑之間的統計依賴關係，僅與這些時刻之間的相對位置有關，而與其絕對位置無關，因而直徑的變化過程可以看作一個平穩過程。具有近似於這種性質的隨機過程，在實際中是大量存在的。

　　平穩過程的基本理論是在20世紀30～40年代建立和發展起來的，並已相當完善。其後的研究主要是向某些特殊類型以以及多維平穩過程、平穩廣義過程和齊次隨機場等方面發展。平穩過程理論在無線電技術和自動控制等領域有著廣泛的應用，並且是諸如時間序列分析、信號分析、濾波、預測理論以及控制理論等應用學科的重要工具。

　　設X＝(X(t)，t∈T)是一個取復數值的隨機過程，其中指標集T為整數或實數全體(分別稱為離散指標和連續指標)。如果對任意的自然數n及任意的t₁，t₂，…t_n，

的 概率分佈與( X( t ₁)， X( t ₂)，…， X( t _n))的概率分佈相同，則稱 X為嚴平穩過程。如果二階絕對矩 ，而且對任意的 t，τ∈ T，均值（見 數學期望）E X( t)≡ m（常數），協方差 （與τ無關），則稱 X為寬平穩過程。Г( t)稱為 X的協方差函數。一個嚴平穩過程，如果它的二階矩有窮，則一定也是寬平穩的(見 矩)。

　　寬平穩過程的譜分解　將傅裡葉分析方法應用於寬平穩過程，可以把過程表成有不相關隨機振幅的簡諧振動的疊加，這就產生瞭過程按頻率的譜分解，它是寬平穩過程理論的一個基本結果。

　　寬平穩過程的協方差函數是非負定的，即對任意t₁，t₂，…t_n∈T，任意復數z₁，z₂，…z_n，都有

。根據這一性質，對於離散指標，Г( t)和過程本身分別有如下的譜分解式：

。

對於連續指標，如果還假設過程為均方連續的，即對任意 （它的一個等價條件是Г( t)為連續函數），則有譜分解式：

，

上面的 F( λ )是區間[- ， ]或(-∞，∞)上的有界非降函數，並可取為右連續的，稱為過程 X的譜分佈函數。η( λ)是相應區間上的正交增量過程，即滿足Eη( λ )≡0，且當 時，有

及

。

對η 的積分是 隨機積分中一種常見的對正交增量過程的積分。如果 F( λ )絕對連續，則稱它的導函數 f( λ )＝ F′( λ )為過程 X的譜密度(或功率譜密度)。最重要的特例是有理譜密度，對於離散指標，它的一般形式是

，

式中多項式 與 當| z|≤1時不為0。這時過程 X稱為自回歸滑動平均序列，通常簡記成ARMA( p， q)序列，它滿足如下的隨機差分方程：

式中( ξ( t)， t∈ T)為正交隨機序列，即滿足 E ξ( t)≡0，當 t≠ s時， ，且 。對於連續指標，有理譜密度的一般形式是

，

式中 q＜ p，且多項式 與 當 z有非負實部時不為0。從物理上看，上述性質表明，具有有理譜密度的平穩過程可以看成白噪聲（即具有常值譜密度的平穩過程）輸入一個有限階非時變線性系統所得的輸出。這一特性使得它們在實際應用中占有重要的地位。

　　從平穩過程的譜分解可以推出一些重要的結論。例如均方大數律(見大數律)：如果寬平穩過程X的譜分佈函數F(

λ )在 λ =0處連續，則在均方收斂的意義下，成立

　　 　

，

。

後一積分是均方隨機積分。

　　寬平穩過程的線性預測　這是由Α.Η.柯爾莫哥洛夫和N.維納在1940年左右提出並解決的問題。對於一個均值為0的寬平穩過程X=(X(t)，t∈T)，隨機變量集{X(s)，β∈T，s≤t｝表示到時刻t為止所能觀測到的過程的歷史，用M_t(X)表示由這些隨機變量的一切有限線性組合及其均方極限所構成的希爾伯特空間。設τ>0，所謂"τ步"線性預測，就是要用M_t(X)中的隨機變量來估計還未曾觀測的X(t+τ)(t+τ∈T)；而線性最優預測，就是要在M_t(X)中選擇

( t，τ)，使預測誤差的方差

達到最小。可以證明 ( t，τ)惟一存在，它就是 X( t+τ)在空間 上的投影。如果對任意的 t， β∈ T，都有 = M _s( X)，則稱過程為決定的或奇異的，這時 ，即可以無差誤地進行預測；如果所有 M _t( X)的公共部分僅包含零，即 ，則稱過程為純非決定的或正則的。一般的寬平穩過程 X可以分解成相互正交的兩部分之和： ，其中 X ^r是純非決定的寬平穩過程， X ^s是決定的寬平穩過程。這時， X ^r可以按離散指標或連續指標而分別表為一個正交隨機序列( ξ( t)， t∈ T)的向後的滑動和：

，

或一個正交增量過程( ξ( t)， t∈ T) 的向後的滑動積分（對正交增量過程的積分）：

，

而且對任何 t∈ T有 。寬平穩過程的這一分解稱為沃爾德分解。由此可得，對於離散指標，

，

；

對於連續指標，

，

。

此外，寬平穩過程 X 本身為純非決定的充分必要條件是，它有譜密度 f( λ )，而且滿足

，

。

具有有理譜密度的過程是純非決定過程的重要特例。

　　多維寬平穩過程　設X(t)=(X₁(t)，X₂(t)，…，X_k(t))′是由k個分量組成的，而且均值EX(t)≡m為常值向量，協方差陣E(X(t+τ)-m)(X(τ)-m)^*=Г（t）與τ無關，則稱X=(X(t)，t∈T)為k維寬平穩過程，其中記號“′”與“*”分別表示向量或矩陣的轉置與共軛轉置。這時，Г(t)與X(t)在形式上有和一維情形一樣的譜分解，隻是F(

λ )（或 f( λ )）變為 k× k的函數矩陣，它的對角線元就是各分量本身的譜分佈（或密度）函數，而它的非對角線元稱為相應分量的互譜分佈（或密度）函數，而且 f( λ )= f*( λ )是非負定矩陣。關於多維寬平穩過程的線性預測問題，也有類似於一維的結果。

　　齊次隨機場　如果隨機過程X=(X(t)，t∈T)的指標集T是k維整值向量或實值向量的全體，且其均值與協方差函數滿足與寬平穩過程的定義相同的條件，則稱X為齊次隨機場或k

指標平穩過程。這時 X( t)與Г( t)也有相應的譜分解。如果進一步，Г( t)隻與指標向量 t的長度

（ t _j為 t的分量）有關，則稱 X為迷向場。齊次場在力學的湍流理論中很有用。齊次場的線性預測問題比寬平穩過程的情形要復雜得多，中國學者江澤培開始瞭這方面的工作。

　　嚴平穩過程的遍歷定理　關於嚴平穩過程，最重要的性質是以概率1成立的遍歷定理，或稱為各態歷經定理。這一名詞來自物理學。任何嚴平穩過程X=(X(t)，t∈T)都可看作是由某個概率空間(

，F， P)上的保測變換群{ S _t， t∈ T}作用於隨機變量 X(0)而產生的，其中對任意的 ，實數 x及隨機變量 ξ，滿足條件

，而 X( t)= S _t X(0)。用 表示使 S _t A= A對任何 t∈ T成立的事件 A的全體，則 是F的子 σ域。如果均值 E X(0)存在，則 以概率1收斂於條件期望E{ X(0)| }。如果 中隻含概率為1或為0的事件，則稱過程 X為遍歷的，這時 以概率1收斂於 E X(0)= E X( t)。後一結果也稱為嚴平穩過程的強大數律，它表明，過程幾乎所有的樣本對時間的平均都趨近於每一時刻的過程值對概率分佈的平均。

　　

參考書目

　J.L.Doob，Stochastic Processes，John Wiley &Sons，New York，1953.

　E.J.Hannan，Multiple Time Series，John Wiley &Sons，New York，1970.

　王梓坤著：《隨機過程論》，科學出版社，北京，1965。