巴拿赫空間上具有某種譜分解性質的一類運算元，它是若爾當型矩陣在無窮維空間的一種推廣。
自共軛的常微分方程的邊值問題的研究發展成希爾伯特空間上自伴運算元（或自共軛運算元）的譜論，這是20世紀數學上的重大成就。
自伴運算元譜論是對稱矩陣酉等價理論的推廣，而對一般的矩陣，則問題歸結於刻畫其完全的相似不變數。至於希爾伯特空間上的非正規運算元以至巴拿赫空間上的一般運算元的譜論，從理論和應用來看雖然都很重要，，但是處理起來十分困難。例如和這件事有關的不變子空間問題，從J.馮·諾伊曼的研究到現在已有半個世紀，進展仍不大。其次，即使解決瞭不變子空間問題，對許多算子也還難於有一個能與自伴算子譜論相比擬的完全的譜分析。遠在20世紀之初，G.D.伯克霍夫等便已研究過一類非自伴的常微分算子的特征展開問題，並且討論瞭它的特征展開的收斂性。F.（F.）裡斯和後來的И.М.蓋爾范德等人則開展瞭取值於巴拿赫空間的復變函數論並用於研究一般算子的譜論。30年代末，K.O.弗裡德裡希斯為研究連續譜擾動而提出瞭相似方法。正是在以上這些工作的基礎上，N.鄧福德在50年代創立瞭譜算子理論。
譜測度 設B為復平面
C上波萊爾子集構成的
σ
代數。若
E是從B到巴拿赫空間
X上射影算子族之同態映射，並且
E(·)還是一致有界的，即
E(C)=I， E(C\σ)=I-E(σ)，
，
‖E(σ)‖≤K（常數） (σ∈B)，
則稱{ E( σ)｜ σ∈B}為譜測度。這裡算子 A∨ B= A+ B- A B。譜算子 設T是復的巴拿赫空間X上的有界算子。若有譜測度{E(σ)｜σ∈B}使得：①TE(δ)=E(δ)T，
，當δ∈B，這裡
T│
M表示
T在
M上的限制；②
E(δ)是可數可加的，即對B中任意可數多個互不相交的集
，皆有
＝
，
x∈
X，則稱
T為譜算子，而稱
E：
δ→
E(
δ)為
T之單位分解。每個譜算子的單位分解是惟一的。對具緊支集
的譜測度{
E(
σ)｜
σ∈B}，則
稱為標算子。這裡需要說明，對簡單函數
，
定義
，而對
上任何有界可測的
f(
λ)，恒有簡單函數列{
f
n(
λ)}在
上一致地收斂到
f(
λ)，從而定義
。
T是譜算子的充要條件是
T=
N+
S，這裡
S是標算子，
N是擬冪零算子且
N與
S可交換。可見譜算子正是若爾當型矩陣在無窮維空間的推廣。對希爾伯特空間
h上的譜算子，則有更深刻的結果：凡標算子皆相似於一正規算子。
h上交換的譜算子之和與積也都是譜算子。
譜算子概念可推廣到無界的情況。設線性算子T之定義域D(T)與值域部在巴拿赫空間X中，且T是閉的，
若有可數可加的譜測度
使
，當
且有界；
，且
TE(δ)
x=
E(
δ)
Tx，當
而δ∈B；
，這裡
T│
E(δ)
X之定義域為D(
T)∩
E(δ)
X，則稱算子
T為無界譜算子。
研究一個算子是譜算子的條件，當然很重要。自伴算子理論已經指出這類問題的困難和一些可能進攻的途徑。這裡擾動的方法是常用的，據此人們把前述伯克霍夫等人的工作推廣到一類譜算子上去。重要的弗裡德思希斯方法的大意是對算子T與適當的算子K，如果能找到具有界逆的算子U使得T+K=U-1TU，那麼T+K的譜論便化歸為T。這些方面的結果，已成功地應用於大量的算子和物理問題。
參考書目
N.Dunford and J.T.Schwartz，Linear Operators，Interscience，New York，1971.